二次函数的图像和性质.ppt

26 1 2二次函数图像和性质 驶向胜利的彼岸 学习目标 1 会用描点法画二次函数y x2和y x2的图象 2 根据函数y x2和y x2的图象 直观地了解它的性质 复习 一般地 形如 的函数 叫做二次函数 其中 是x自变量 a b c分别是函数表达式的二次项系数 一次项系数和常数项 y ax2 bx c a b c为常数 a 0 二次函数 思考 一次函数的图像是一条直线 反比例函数的图像是双曲线 二次函数的图像是什么形状呢 通常怎样画一个函数的图像 还记得如何用描点法画一个函数的图象呢 二次函数的图像 画函数y x2的图像 解 1 列表 2 描点 3 连线 根据表中x y的数值在坐标平面中描点 x y 再用平滑曲线顺次连接各点 就得到y x2的图像 y x2 观察图象 回答问题串 1 你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流 2 图象是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 请你找出几对对称点 并与同伴交流 3 图象与x轴有交点吗 如果有 交点坐标是什么 4 当x0呢 5 当x取什么值时 y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的 这条抛物线关于y轴对称 y轴就是它的对称轴 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 二次函数y x2的图象形如物体抛射时所经过的路线 我们把它叫做抛物线 当x 0 在对称轴的左侧 时 y随着x的增大而减小 当x 0 在对称轴的右侧 时 y随着x的增大而增大 抛物线y x2在x轴的上方 除顶点外 顶点是它的最低点 开口向上 并且向上无限伸展 当x 0时 函数y的值最小 最小值是0 在学中做 在做中学 1 二次函数y x2的图象是什么形状 你能根据表格中的数据作出猜想吗 2 先想一想 然后作出它的图象 3 它与二次函数y x2的图象有什么关系 二次函数的图像 请画函数y x2的图像 解 1 列表 2 描点 3 连线 根据表中x y的数值在坐标平面中描点 x y 再用平滑曲线顺次连接各点 就得到y x2的图像 y x2 观察图象 回答问题串 1 你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流 2 图象与x轴有交点吗 如果有 交点坐标是什么 3 当x0呢 4 当x取什么值时 y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的 5 图象是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 请你找出几对对称点 并与同伴交流 y x2 描点 连线 这条抛物线关于y轴对称 y轴就是它的对称轴 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 二次函数y x2的图象形如物体抛射时所经过的路线 我们把它叫做抛物线 y 当x 0 在对称轴的左侧 时 y随着x的增大而增大 当x 0 在对称轴的右侧 时 y随着x的增大而减小 y 抛物线y x2在x轴的下方 除顶点外 顶点是它的最高点 开口向下 并且向下无限伸展 当x 0时 函数y的值最大 最大值是0 y x2的图像叫做抛物线y x2 y x2的图像叫做抛物线y x2 二次函数的图像 从图象可以看出 二次函数y x2和y x2的图像都是一条曲线 这条曲线叫做抛物线 y x2 y x2 实际上 二次函数的图像都是抛物线 它们的开口向上或者向下 一般地 二次函数y ax2 bx c的图像叫做抛物线y ax2 bx c 二次函数的图像 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点 抛物线y x2的顶点 0 0 是它的最低点 抛物线y x2的顶点 0 0 是它的最高点 y x2 y x2 从图象可以看出 二次函数y x2和y x2的图像都是轴对称图形 y轴是它们的对称轴 实际上 每条抛物线都有对称轴 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点 顶点是抛物线的最低点或最高点 例题与练习 例1 在同一直角坐标系中画出函数y x2和y 2x2的图像 解 1 列表 2 描点 3 连线 8 2 0 5 0 0 5 2 4 5 8 4 5 观察 共同点 不同点 开口向上 顶点是原点 顶点是抛物线的最低点 对称轴是y轴 除顶点外 图像都在x轴上方 开口大小不同 性质 a 0 图象开口向上 顶点是抛物线的最低点 a越大开口越小 反之越大 在同一直角坐标系中画出函数y x2和y 2x2的图像 y 2x2 y x2 0 2 2 8 8 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 y 2x2 0 2 2 8 8 函数y x2 y 2x2的图像与y x2的图像相比 有什么共同点和不同点 观察 共同点 不同点 开口向下 顶点是原点 对称轴是y轴 顶点是抛物线的最高点 除顶点外 图像都在x轴下方 开口大小不同 性质 当a 0时 图象开口向下 顶点是抛物线的最高点 a越大 抛物线的开口越大 1 抛物线y ax2的顶点是原点 对称轴是y轴 2 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的上方 除顶点外 它的开口向上 并且向上无限伸展 a越大 抛物线的开口越小当a 0时 抛物线y ax2在x轴的下方 除顶点外 它的开口向下 并且向下无限伸展 a越大 抛物线的开口越大 二次函数y ax2的性质 思考 在同一坐标系内 抛物线y x2与抛物线y x2的位置有什么关系 一般地 抛物线y ax2与抛物线y ax2呢 答 抛物线抛物线y x2与抛物线y x2既关于x轴对称 又关于原点对称 抛物线y ax2与抛物线y ax2也有同样的关系 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 当a 0时 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 当a 0时 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 二次函数y ax2的性质 开口向上 开口向下 a的绝对值越大 开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点 0 0 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减 O O 例题与练习 1 函数y 4x2的图象的开口 对称轴是 顶点是 向上 向下 y轴 y轴 0 0 0 0 4 函数y 0 2x2的图象的开口 对称轴是 顶点是 耐心填一填 向上 y轴 0 0 向下 y轴 0 0 高 低 观察函数y x2的图象 则下列判断中正确的是 A 若a b互为相反数 则x a与x b的函数值相等 B 对于同一个自变量x 有两个函数值与它对应 C 对任一个实数y 有两个x和它对应 D 对任意实数x 都有y 0 A 例题与练习 1 抛物线y 2x2的顶点坐标是 对称轴是 在侧 y随着x的增大而增大 在侧 y随着x的增大而减小 当x 时 函数y的值最小 最小值是 抛物线y 2x2在x轴的方 除顶点外 2 抛物线在x轴的方 除顶点外 当x 0时 y随着x的 当x 0时 y随着x的 当x 0时 函数y的值最大 最大值是 当x0时 y 0 0 0 y轴 对称轴的右 对称轴的左 0 0 上 下 增大而增大 增大而减小 0 已知抛物线y ax2经过点A 2 8 1 求此抛物线的函数解析式 2 判断点B 1 4 是否在此抛物线上 3 求出此抛物线上纵坐标为 6的点的坐标 解 1 把 2 8 代入y