北师大版选修45 一般形式的柯西不等式 课时作业.doc

一般形式的柯西不等式一、单选题1（2013湖北一模）已知a，b，cr，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c1，1的（ ）a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件2（2012湖北）设a，b，c，x，y， 是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+ 2=40，ax+by+c =20，则=（ ）a. b. c. d.3函数（ ）a.6 b.2 c.5 d.24已知a，b，cr，且a+b+c=0，abc0，则+的值（ ）a.小于0 b.大于0 c.可能是0 d.正负不能确定5已知x，y均为正数，（，），且满足=，+=，则的值为（ ）a.2 b.1 c. d.6已知2x+3y+4 =1，则x2+y2+ 2的最小值是 （ ）a. b. c. d.7设a，br+，a+b=1，则+的最小值为（ ）a.2+ b.2 c.3 d.8用柯西不等式求函数y=的最大值为（ ）a. b.3 c.4 d.59对任意正数x，y不等式（ ）x+ y恒成立，则实数 的最小值是（ ）a.1 b.2 c.3 d.410已知x2+4y2+ 2=36，且x+y+ 的最大值为7，则正数 等于（ ）a.1 b.4 c.8 d.9二、填空题11设向量，其中，由不等式 恒成立，可以证明（柯西）不等式（当且仅当，即时等号成立），己知，若恒成立，利用可西不等式可求得实数的取值范围是 12若存在实数使成立，求常数的取值范围 .13已知a,b均为正数且的最大值为 14三棱锥的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为 .15已知 .16(不等式4-5)已知，那么 的最小值为 ；17（1）已知实数满足，则的最小值为 。(2)在极坐标系中，曲线与 的交点的极坐标为 。18已知 x+2y+3 =1,则的最小值是 .19.（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲设函数（i）当时，求的最小值；（ii）如果对，求实数的取值范围试卷第2页，总2页 参考答案1a【解析】试题分析 利用柯西不等式2a2+3b2+6c2=1，推出1a+b+c1，通过1a+b+c1利用特例否定2a2+3b2+6c2=1，利用充要条件的判断方法推出结果解 由柯西不等式得 a+b+c a + b + c =1，（2a2+3b2+6c2=1）所以1a+b+c1，反之，当1a+b+c1时，不妨令a=0.9，b=0，c=0.1；2a2+3b2+6c2=1.681，所以2a2+3b2+6c2=1是a+b+c1，1的充分不必要条件故选a点评 本题考查柯西不等式在不等式的证明中的应用，充要条件的判断方法，考查逻辑推理能力2c【解析】试题分析 根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可解 由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+ 2）（ax+by+c ）2，当且仅当时等号成立a2+b2+c2=10，x2+y2+ 2=40，ax+by+c =20，等号成立=故选c点评 柯西不等式的特点 一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造3d【解析】试题分析 函数可化为=，利用柯西不等式，即可求得最大值解 由柯西不等式可得=2当且仅当，即x=时，函数取得最大值2故选d点评 本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，考查计算能力，属于中档题4a【解析】试题分析 因为a+b+c=0，abc（乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为负数把a+b+c=0变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断解 a+b+c=0，abc0，a，b，c中只能有一个正数，另两个为负数，不妨设a0，b0，c0由a+b+c=0得a=（b+c）代入得，+=+，（b）+（c）（）4，即，=0，故选a点评 本题主要考查柯西不等式的运用，解题的关键是由条件正确判断a，b，c的符号5c【解析】试题分析 由题意可得 tan=1，再由+= 化简可得 3tan410tan2+3=0解得 tan2 的值，可得tan=的值解 x，y均为正数，（，），且满足=，tan=1再由，+=，可得 =，化简可得 3tan410tan2+3=0解得 tan2=3，或 tan2=（舍去），tan=，故选 c点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的解法，属于基础题6d【解析】试题分析 由条件利用柯西不等式可得（x2+y2+ 2）（4+9+16）（2x+3y+4 ）2=1，由此求得x2+y2+ 2的最小值解 2x+3y+4 =1，利用柯西不等式可得（x2+y2+ 2）（4+9+16）（2x+3y+4 ）2=1， 故x2+y2+ 2，当且仅当时，取等号，故x2+y2+ 2 的最小值为，故选 d点评 本题主要考查柯西不等式应用，属于基础题7d【解析】试题分析 利用二维形式的柯西不等式求得 的最小值为10，可得+的最小值解 a，br+，a+b=1，a2+b2=12ab，又=a2+b2+5+262ab+2=62ab+2（ab+2）=10，+，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选 d点评 本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题8c【解析】试题分析 由柯西不等式可得，函数y=，从而求得函数的最大值解 由柯西不等式可得，函数y=4，当且仅当= 时，等号成立，故函数y的最大值为4，故选 c点评 本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2），在求解函数最值中的应用，属于基础题9a【解析】试题分析 根据题意可得（ ）x+ y2，不等式（ ）x+ y恒成立，可得2，化简可得（2 +1）（ 1）0，由此求得 的最小值解 由所给的选项可得 1，（ ）x+ y2，x、y都是正实数，不等式（ ）x+ y恒成立，2，2，化简可得 （2 +1）（ 1）0解得 （舍去），或 1，故 的最小值为1，故选 a点评 本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题10d【解析】试题分析 由柯西不等式可得 （x2+4y2+ 2）（1+）（x+y+ ）2，再根据x+y+ 的最大值为7，可得36（1+）=49，由此求得正数 的值解 由题意利用柯西不等式可得 （x2+4y2+ 2）（1+）（x+y+ ）2，即 36（1+）（x+y+ ）2再根据x+y+ 的最大值为7，可得36（1+）=49，求得正数 =9，故选 d点评 本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题11【解析】试题分析 首先不等式变形为，其次利用柯西不等式有，即，即的最大值为，而不等式恒成立，则有考点 柯西不等式与不等式恒成立问题12【解析】试题分析 由柯西不等式，即，又知为非负数，所以，当且仅当，即时取等号.所以最大值为8.则若存在实数使成立，所以常数的取值范围为.考点 柯西不等式13【解析】试题分析 由柯西不等式可得 .考点 柯西不等式.1432【解析】试题分析 设三条侧棱长为a，b，c，则，三棱锥的侧面积为，又因为，所以，当且仅当时侧面积达到最大值.考点 三棱锥，球，不等式.【答案】12【解析】，所以.【考点定位】本题考查柯西不等式的使用，考查学生的化归与转化能力.16 . 【解析】试题分析 根据柯西不等式， (1+1+1)(x+2y+3 )+ =3+=3+(3+)=所以，的最小值为。等号成立条件，按柯西不等式“=”成立的条件可以确定 。考点 本题主要考查柯西不等式的应用。点评 中档题，根据已知条件，通过构造应用“柯西不等式”的条件，应用柯西不等式求得最值。17（1）2;（2）【解析】试题分析 （1）由柯西不等式得 ，即，所以的最小值为2.（2）曲线的直角坐标方程为 ，曲线的直角坐标方程为，联立，所以交点的极坐标方程为。考点 柯西不等式；极坐标方程与直角坐标方程的互化；直线的极坐标方程。点评 本题直接考查柯西不等式和极坐标方程与直角坐标方程的互化，我们要熟记它们的互化公式。属于基础题型。18 【解析】试题分析 利用题中条件 构造柯西不等式（x2+y2+ 2）（1+4+9 ）（x+2y+3 ）2。已知x+2y+3 =1，x2+y2+ 2则x2+y2+ 2的最