北师大版选修45 第一章 4 第二课时 放缩法、几何法与反证法 学案.doc

第二课时放缩法、几何法与反证法对应学生用书p201放缩法通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式的方法，称为放缩法2几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法3反证法通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立的方法叫做反证法，其证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论1运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是证明中常用方法技巧，也是放缩法中的主要形式2运用几何法证明不等式的关键是什么？提示：结合待证不等式的特征构造出几何图形，最终将待证不等式转化为几何图形的长、面积、体积等大小比较问题，从而求证3用反证法证不等式应把握哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握好以下三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的对应学生用书p21用放缩法证明不等式例1已知a0，b0，c0，abc.求证：.思路点拨本题若通分去分母运算量较大，考虑到a0，b0，可考虑利用分式的放缩精解详析a0，b0，.而函数f(x)1在(0，)上递增且abc，f(ab)f(c)则，所以.则原不等式成立放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处目标往往要从证明的结论考察常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知的绝对值不等式、平均值不等式、利用函数的性质进行放缩等比如：舍去或加上一些项：22；将分子或分母放大(缩小)：，(kr，k1)等1设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：m，|x|a|，|x|b|，|x|1，112.1.同理 1，1.得33，矛盾原命题得证(2)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.用反证法证明法一：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2.两式矛盾，从而假设不成立，所以原命题成立|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.法二：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有由得4p2，由得6p4.这不可能，假设错误从而|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”及否定性问题，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个以上是有或存在不全不都是对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，在一些选择题中，更是如此3已知a0，b0，且ab2，求证：，中至少有一个小于2.证明：假设，都不小于2，即2，2.a0，b0，1b2a,1a2b.两式相加，得1b1a2(ab)即ab2，这与已知ab2矛盾故假设不成立因此，中至少有一个小于2.4若a3b32，求证：ab2.证明：法一：假设ab2，而a2abb22b20.但取等号的条件为ab0，显然不可能，a2abb20.则a3b3(ab)(a2abb2)2(a2abb2)，而a3b32，故a2abb21.1aba2b22ab.从而ab1.a2b21ab2.(ab)2a2b22ab22ab4.ab2.这与假设矛盾，故ab2.法二：假设ab2，则a2b，故2a3b3(2b)3b3，即2812b6b2，即(b1)20，这不可能，从而ab2.法三：假设ab2，则(ab)3a3b33ab(ab)8.由a3b32，得3ab(ab)6.故ab(ab)2.又a3b3(ab)(a2abb2)2，ab(ab)(ab)(a2abb2)a2abb2ab，即(ab)20.这不可能，故ab2.放缩法、反证法是证明不等式的两种常用方法，在近几年高考模拟中，常以解答题形式出现，考查两种方法、不等式的性质等基础知识，同时考查推理、求解能力，常与数列、函数等知识交汇命题考题印证(安徽高考)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上自主尝试(1)反证法假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2.代入k1k220，得k20，此与k1为实数的事实相矛盾从而k1k2，即l1与l2相交(2)法一 ：由