北师大版选修45 第二章 §2 排序不等式 学案.docVIP

2排序不等式对应学生用书p391顺序和、乱序和、逆序和的概念设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn，bj1，bj2，bjn(其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式)，为b1，b2，bn的任一排列方式则s1a1b1a2b2anbn称为顺序和；s2a1bj1a2bj2anbjn称为乱序和；s3a1bna2bn1anb1称为逆序(倒序)和2排序不等式(1)定理1：设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbdadbc.此式当且仅当ab(或cd)时取“”号(2)定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn.则(顺序和)a1b1a2b2anbn(乱序和)a1bj1a2bj2anbjn(逆序和)a1bna2bn1anb1.其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式，上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取“”号1定理2中哪个和最大？哪个和最小？提示：顺序和最大，逆序和最小2设a1a2an，b1b2bn为两组数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么，它们的顺序和、乱序和、逆序和大小关系如何？提示：a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.对应学生用书p39利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况例1已知a，b，c为正数，abc，求证：(1)；(2).思路点拨本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力解答此题只需根据abc，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可精解详析(1)ab0，于是，又c0，0，从而.同理，bc0，于是，a0，0，于是得.从而.(2)由(1)，于是由“顺序和乱序和”得，(a2b2c2，).利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组1设0a1a2an,0b1b2bn，c1，c2，cn为b1，b2，bn的一组排列，证明：a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1.证明：因为00，abacbc.a2b2c2，.由排序不等式得：，.两式相加得：2.3设a1，a2，an是1,2，n的一个排列，求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立本课时考点常以解答题的形式考查排序不等式在证明不等式中的应用考题印证设a1，a2，an为正数，求证： a1a2an.命题立意本题考查排序不等式及不等式的性质，证明不等式等基础知识，考查推理论证及求解能力自主尝试由所证不等式的对称性，不妨设0，0，则a2b2，a3b3a2ab2ba2bb2aab(ab)同理b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)，().答案：三、解答题9在abc中，试证：.证明：不妨设abc，于是abc.由排序不等式，得aabbccaabbcc，aabbccbacbac，aabbcccaabbc.以上三式相加，得3(aabbcc)(abc)(abc)(abc)得，又由0bca,0abc,0acb，有0a(bca)c(abc)b(acb)a(bca)b(acb)c(abc)a(2a)b(2b)c(2c)(abc)2(aabbcc)得.由得原不等式成立10设a，b，c是正实数，用排序不等式证明aabbcc(abc).证明：由所证不等式的对称性，不妨设abc0，则lg alg blg c，据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，以上两式相加，再两边同加alg ablg bclg c，整理得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)即lg(aabbcc)lg(abc)，故aabbcc(abc).11已知0(sin 2sin 2sin 2)证明：0，且ysin x在(0，)为增函数，ycos x在(0，)为减