北师大版选修45 第二章 3 数学归纳法与贝努利不等式 作业.doc

第二章 3 数学归纳法与贝努利不等式一、选择题1用数学归纳法证明不等式(n2)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边()a增加了一项b增加了两项和c增加了b中的两项但减少了一项d以上均不正确解析：nk时，左边.nk1时，左边.观察比较两式，可发现增加的项是，故选c.答案：c2在用数学归纳法证明不等式“1成立”时，n的第一个值应为()a7b8c9 d10解析：左边2n1，若2n1成立，解得n7.答案：b3用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标是()a.b.c.d.解析：注意不等式两边含变量“n”的式子，因此当nk1时，应该是含“n”的式子发生变化，所以nk1时，应为.答案：a4若不等式对于一切nn恒成立，则自然数m的最小值为()a8 b9c10 d12解析：令bn，则bk1bk0.bk1bk.数列bn为递减数列要bn恒成立，只需b1.7 .m的最小值为8.答案：a二、填空题5在数列an中，a1，且snn(2n1)an.通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式是_解析：a2s2s12(221)a2，a2，同理a3，a4.归纳知an.答案：an6已知f(n)1(nn)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k1)f(2k)_.解析：f(2k1)1，f(2k)1，所以f(2k1)f(2k).答案：7用数学归纳法证明(k1)，则当nk1时，左端应乘上_，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，共有2k2k12k1项答案：2k18设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线的交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示)解析：f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(3)34(n1)(n3)，f(n)(n1)(n2)答案：5(n1)(n2)三、解答题9用数学归纳法证明：.证明：(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk时，等式成立，即，则当nk1时，即当nk1时，等式成立根据(1)(2)可知，对一切nn，等式成立10已知acdb0，abcd，n为大于1的正整数，求证：anbncndn.证明：设acm，bdm，且m0，于是(anbn)(cndn)(cm)n(dm)n(cndn)cnndnn(cndn)根据贝努利不等式，有n1n，n1n.由，可得(anbn)(cndn)cndn(cndn)(cn1dn1)nm0，anbncndn.11设数列an的前n项和为sn，对一切nn，点都在函数f(x)x的图像上求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明解：因为点在函数f(x)x的图像上，故n，所以snn2an.令n1，得a11a1，所以a12；令n2，得a1a24a2，所以a24；令n3，得a1a2a39a3，所以a36；由此猜想：an2n.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，由上面的求解知，猜想成立(2)假设nk(k1，且kn)时猜想成立，则ak2k成立，则当nk1时，注意到snn2an(nn)，故sk1(k1)2ak1，skk2ak.两式相减，得ak12k1ak1ak