考研数学跟踪辅导系列2.doc

数学跟踪辅导系列二： （三）一元函数积分学 （四）向量空间与解析几何一元函数积分是高等数学中最重要的一部分，一元函数的积分不学扎实，后面的多元函数的积分就是空中楼阁，要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型，如有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分,与一元函数积分相比，向量空间与解析几何显得不怎么重要，而且数学二不要求向量空间与解析几何中的内容。（三）一元函数积分学. 概念 原函数，不定积分，定积分，广义积分. 重要定理与公式、技巧.注意一些常用的积分公式：特别地有： 特别地 ，当时： .注意定积分中常用的公式： 设在上连续，则. 设是以为周期的连续函数，则. . ,则. 不定积分解法（定积分类同不定积分）：第一换元积分法（凑微分法）常见的凑微分形式： 第二换元积分法：主要是三角函数代换和倒代换：三角函数代换：若被积函数中含有，则令若被积函数中含有，则令若被积函数中含有，则令倒代换：令可以进行倒代换的条件：设和分别是被积函数的分母和分子关于的最高幂次数。若，则可以进行倒代换，否则，不能进行倒代换。另外，第二换元积分法中还有去根号代换。分部积分法： .例如 、都可以用分部积分法来求得。 有理函数积分：利用其中是整式， 是真分式。.好题精选例题1.求积分：解： 因此可由入手有：原式评注：该题是一道用凑微分法解的典型题，由该题要记住结论：例题2.求积分：.解：若能记起，则此题解得很顺利。.类似的结论还有：；等等。例题3.求积分：解：分子中的最高次数是1，而分母中的最高次数是3，故可以用倒代换法。令，原式 （不定积分去根号时不用考虑绝对值，而定积分去根号时则要考虑绝对值） 或另解：令，则原式例题4.求积分.解：原式评注：三角有理函数式的积分，若有理函数式分母为 ，则可以通过分子分母同时乘上一个式子，使分母变为积的形式，另外， 还可以直接变形为积的形式来求解。例题5.求积分：解：原式注意此题中三角函数积分中“1”的妙用。例题6.设求I=解：I 例题7.求积分：I=.解：该题是求广义积分，广义积分中积分函数是加减函数时不能将加减函数拆开分别积分，应将加减函数整体积分。积分上下限代入积分函数若无意义，则理解为取极限。 I .（四）向量空间与解析几何. 概念（略）.重要定理与公式、技巧.向量的乘积点乘：，其中，.性质：交换律；结合律；分配律（）.若则. .若，则，也即。叉积：也即向量积 ，该向量同时垂直于，且成右手系关系。是以为边的平行四边形的面积。性质：反交换律；结合律；分配律（）.若则.若，则，也即.混合积：，且有：若则是以为边的平行六面体的体积或相反数，以为边的四面体的体积为.若共面，则有或者存在不全为零的数，使.关于平面的一些问题：两平面间夹角：平面和平面间的夹角可以由公式求出且.点到平面之距和两平行平面之距：点到之距为.两平行平面和之距为.平面束：设平面与平面相交于直线L，则过L可以做无数个平面，这些平面构成一个平面束，平面束方程为，但是该方程不能表示.这样，用平面束求解问题时，要注意最后检验是否满足题意。.关于直线的一些问题： 直线与直线间的交角可以由公式求出，其中与分别是两条直线的方向矢量。且。 直线与平面的夹角可以由公式求出。点到直线L：的距离为：.空间曲线与空间曲面： 投影曲线方程：设有空间曲线：（*），在平面上的投影方程可如此求得：从方程组（*）中消去，得到一个母线平行于轴的柱面方程，则在平面上的投影方程为，即为“消元，令元”. 旋转曲面方程：设有平面曲线L：曲线L绕轴旋转所成的旋转曲面方程是：，绕轴旋转所成的旋转曲面方程为：.准线为：，母线的方向矢量为的柱面方程：首先在准线上任取一点，则过该点的母线方程为： ，其中为母线上任一点的流动坐标，消去方程组的便得所求的柱面方程。准线为：，顶点为的锥面方程：先设为锥面上任一点，直线为锥面的母线，它与准线的交点为，则母线方程为，从联立方程组中消去，便得所求锥面方程为.好题精选例题1.判断下列两条直线，是否在同一平面内，若在，求交点；不在，求两直线间的距离。解：直线