江苏省苏州市2015年初三数学专题复习一、数式运算、因式分解、分式、数的开方.doc

一、数式运算、因式分解、分式、数的开方【近三年江苏省十三大市中考数式运算、因式分解、分式、数的开方的分值与比率】2012年2013年2014年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市1613.332218.331815.00苏州市2821.542821.542216.92无锡市2015.381713.082116.15常州市2016.671714.171815.00镇江市2218.332319.172218.33扬州市3120.672013.332013.33泰州市3221.333020.002617.33南通市3322.002617.332516.67盐城市3221.333120.673624.00淮安市2617.331912.673020.00宿迁市3120.671711.331512.50徐州市1613.332517.862820.00连云港2718.003020.002416.00平均25.6918.4522.1515.9123.4617.02【新课标要求】1.有理数 (1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小. (2)从代数意义、几何意义两方面理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法. (3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主). (4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算. (5)运用有理数的运算解决简单的问题.2.实数 (1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根. (2)了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数(对应的负数)的立方根. (3)了解无理数和实数的概念、实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值. (4)掌握用有理数估计一个无理数的大致范围. (5)了解实际问题中的近似计算，会按问题的要求对结果取近似值. (6)了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，掌握实数的简单四则运算.3.代数式 (1)理解用字母表示数的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示. (2)对一些简单代数式的实际背景或几何意义进行解释. (3)掌握求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，选择所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.4.整式与分式 (1)了解整数指数幂的意义和基本性质；掌握用科学记数法表示数. (2)理解整式及相关概念，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(一次式与二次式相乘). (3)能推导乘法公式：；，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算. (4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)、十字相乘法、分组分解法进行因式分解. (5)了解分式及相关概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算.【课时分布】 本单元在第一轮复习时大约需7课时.下表为内容及课时安排(仅供参考).课时内容1实数相关概念及简单混合运算1整式相关概念及运算1数式运算单元测试与评析1因式分解1分式1数的开方1因式分解、分式、数的开方单元测试与评析有理数无理数实数实际问题题题题用字母表示数单项式多项式整式计算化简【知识网络结构】实际问题立方根平方根约分化简计算二次根式分式因式分解通分公式法提公因式法分式的加减数的开方分式的基本性质十字相乘法分式的乘除【基础知识专题讲解】专题1：实数的概念与分类1.无理数的概念及实数的分类：2.研究实数的工具数轴：明确实数与数轴上的点一一对应(数形结合).3.相反数：若a,b互为相反数，则.4.绝对值：(1)几何意义：在数轴上表示数a对应的点与原点的距离. (2)代数意义：5.倒数：若a,b互为倒数，则ab=1.(注意互逆运用) 6.三种非负数：(n为整数).例1在1，0，2，3这四个数中，最大的数是(). A.1 B.0 C.2 D.3【考点】有理数大小比较【分析】根据有理数比较法则或利用数轴解决【解】选C例2设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：a是无理数；a可以用数轴上的一个点来表示； 3a4；a是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是( ). A. B. C. D.【考点】无理数的概念、无理数大小估计、数的开方运算、勾股定理.【分析】由勾股定理，得：，所以错误，其它都正确.【解】选C. 例3已知：m、n为两个连续的整数，且mn，则m+n=.【考点】估计无理数的大小.【分析】先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论.【解】7.【说明】实数概念复习注意以下几点： 1.对于有理数和无理数的理解认识要从数的表示形式入手，特别是对于这样的有理数； 2.初中遇到的无理数有三种形式：特定结构的数，如5.020 020 002；开方开不尽的数，如、等；特定意义的数，如，sin 45等.它们的本质特征都是无限不循环小数； 3.判断一个实数是有理数还是无理数，不能只看表面，要经过化简后才能下结论.例如：化简后等于1，因此不是无理数； 4.要会用有理数估计一个无理数的大小，体现数学中的转化思想，培养估算意识.专题2：实数的运算【基本知识】1.运算法则(略).2.运算律：交换律、结合律、分配律.3.运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的.例4计算：计算：.【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂.【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、负指数幂等考点.针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.例5某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额.消费金额(元)300400400500500600600700700900返还金额(元)3060100130150 注：300400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同. 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400(1-80%)+30=110(元).购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？【考点】运用有理数运算解决简单的问题.【分析】按实际问题列出式子计算.【解】购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元，顾客获得的优惠额为1000(1-80%)+150=350(元).【说明】实数运算复习注意点：1.乘方运算注意事项：注意分清底数；注意书写格式，若底数为负数或分数，书写时一定要加括号，注意运算顺序，运算时要先算乘方；2.有理数运算的合理性：几个分数、小数相加，尽量化成小数相加；几个分数、小数相乘，尽量化成分数相乘；能“整”不“分”、能“正”不“负”. 专题3：近似数与科学记数法1.近似数的表示方法：精确到哪一位或者精确到小数点后第几位；2.把一个数表示成 (，n为不等于0的整数)的形式. 例6据统计，2014年全国约有939万人参加高考，939万人用科学记数法表示为 人.【考点】科学记数法表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数.确定n的值是易错点，由于939万有7位，所以可以确定n=71=6.【解】939万=9 390 000=9.39106.故答案为：9.39106.【说明】科学记数法的规律：原数的绝对值大于10时，原数利用科学记数法写成形式，注意，n等于原数的整数位数减1;原数的绝对值小于1时，原数利用科学记数法写成形式，注意，n等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的零).例如0.000 123=1.2310-4.专题4：整式的有关概念1.定义：单项式和多项式统称整式. 2.单项式：数字与字母的积所组成的代数式叫单项式，单独一个数字或字母也是单项式.单项式的属性有系数和次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式.多项式的属性有次数和项数.4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项例7是关于x，y的5次单项式，且系数为1，则m= ，n= .【考点】单项式相关概念.【分析】从单项式的次数和系数概念入手列出方程解决. 【解】m=1，n=5. 例8 若2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn的值是( ). A.2B.0C.1D.1【考点】合并同类项【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，根据乘方，可得答案. 【解】若2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则 解得， mn=20=1， 故选：D.【说明】1.单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：，应写成；2.圆周率是一个无理数，在判断某一项的系数时，应将作为系数，如的系数是2，次数2；3.计算单项式的次数时，要把所有字母的指数相加. 如单项式的系数是，次数是3；4.多项式中的项若不含字母，只是一个数字，则此项为常数项，写项时不要漏掉.专题5：整式的化简与求值1.整式的加减：有括号先去括号，再合并同类项.2.整式的乘法：(1)幂的运算法则；(2)整式乘法常见类型；(3)乘法公式.3.整式的除法例9化简：(a+b)(ab)+2b2.【考点】平方差公式；合并同类项.【分析】先根据平方差公式算乘法，再合并同类项即可. 【解】原式=a2b2+2b2=a2+b2. 例10下列计算正确的是().A.2a3+a2=3a5B.(3a)2=6a2C.(a+b)2=a2+b2D.2a2a3=2a5【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式.【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式判断即可.【解】A.2a3与a2不是同类项不能合并，本项错误；B.(3a)2=9a2，本项错误；C.(a+b)2=a2+2ab+b2，本项错误；D.2a2a3=2a5，正确，故选：D.【说明】1.在中考中，直接考查整式乘法的题目并不多，而是在很多其它问题的解决中用到乘法公式，这就要求熟悉乘法公式的特点，看清项数及公式形式中的a、b，准确进行计算；2.要准确认识平方差和完全平方公式，必须结合面积法证明这两个公式，这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3.在化简求值时要注意：当字母是负数时，代入后应加上括号；当字母是分数时，遇到乘方也要加括号.专题6：因式分解1.因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式乘积形式，叫做因式分解，也叫做分解因式；2.因式分解法常用方法： (1)提公因式法：； (2)公式法：； ； (3)十字相乘法：.例11分解因式：分解因式：m32m2n+mn2.【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】首先提取公因式m，进而利用完全平方公式分解因式得出即可.【解】m32m2n+mn2=m(m22mn+n2)=m(mn)2.故答案为：m(mn)2.例12已知xy=，求代数式(x+1)22x+y(y2x)的值.【考点】整式的混合运算化简求值.【分析】先把代数式计算，进一步化简，再整体代入xy=，求得数值即可.【解】xy=，(x+1)22x+y(y2x)=x2+2x+12x+y22xy=x2+y22xy+1=(xy)2+1=()2+1=3+1=4.【说明】1.分解因式是研究代数式的一种手段，不是目的.分解因式的思路和方法始终贯穿在数学变换中，通过分解因式将多项式合理变形，是求代数式的值的常用的解题方法，许多有关整式、分式以及二次根式的化简与计算都离不开分解因式公因式； 2.因式分解的思考方法是：先提公因式，再由项数定方法(二项考虑平方差公式、三项考虑完全平方公式或十字相乘法、四项以上考虑分组分解法)，最后考虑分解到不能分解为止； 3.提取公因式后所得结果应为：n项式=公因式新的n项式；公因式可能是单项式也可能是多项式.对多项式在教学中要注意下述变形：，； 4.运用公式的关键是熟悉公式的结构特点，了解公式中a、b的广泛含义，才能准确、迅速解题.专题7：分式的概念形如 (A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子叫做分式；整式和分式统称为有理式. 1.若分式有意义，则； 2.若分式无意义，则； 3.若分式=0，则； 4.若分式0，则A，B同号； 5.若分式0，则A，B异号. 6.分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。如果分子与分母有公因式，要进行约分化简.例13代数式有意义，则x的取值范围是().A.x1且x1B.x1C.x1且x1D.x1【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.【分析】此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数.【解】依题意，得x+10且x10，解得 x1且x1.故选：A. 例14若分式的值为零，则x的值为( ). A.0B.1C.1D.1【考点】分式值为零的条件.【分析】要使分式值为零，则满足分子等于0且分母不为0.【解】由x21=0，得x=1.当x=1时，x1=0，故x=1不合题意；当x=1时，x1=20，所以x=1时分式的值为0.故选C.【说明】 1.分式的分母不能为零、二次根式被开方数大于等于零、零指数底数不为零是考虑一个代数式有意义及函数自变量取值范围三个重要方面； 2.看到一个分式就要反应出分母不为零这个要求； 3.对分式的处理有时需要看成一个整体分式，有时需要把分子分母分开看成为两个整式相除.专题8：分式性质及运算1.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变., (其中M是不为零的整式).2.分式的运算与分数的运算相仿.例15若所分式(a、b均为正数)中的a、b都扩大为原来的2倍，则分式的值等于原来的 倍.【考点】分式的基本性质.【分析】本题实质是在分子上乘上4、分母上同乘上2，亦可用特殊值代入方法解决。对此题可以做一个变式，让学生真正认识到题目的本质是分式的基本性质. 【解】分式的值等于原来的2倍. 例16 已知a2+3ab+b2=0(a0，b0)，求代数式的值.【考点】分式的化简求值.【分析】将a2+3ab+b2=0转化为a2+b2=3ab，原式化为，约分即可.【解】a2+3ab+b2=0，a2+b2=3ab，原式=.故答案为3.例17先化简，再求值：，其中.【考点】分式的化简求值.【分析】将原式括号中各项通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后再利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，即可得到原式的值.【解】，当时，原式=.【说明】 1.在分式约分时，分子分母公因式的判断方法：(1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数；(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式；(3)如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母因式分解，然后判断公因式； 2.在分式的运算中要注意负号及括号的处理，分式的加减运算要把分子作为一个整体进行加减，一定要添加括号； 3.分式的计算(或化简)主要依据分式的约分和通分，运算时要注意观察式子的特点，灵活运用运算法则，防止盲目繁琐的运算；若分式的分子、分母是多项式时，可考虑先进行因式分解.分式的计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是中考的重要题型之一，复习中要重视.专题9：二次根式的有关概念及二次根式的性质1.形如()的式子叫做二次根式.2.可以从以下三个方面理解最简二次根式：(1)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含有根号.3.判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须把它们化为最简二次根式，然后看它们的被开方数是否相同.4.二次根式的性质：0(a0)；()a(a0)； (a0，b0)； (a0，b0). 例18在式子，中，x可以取2和3的是().A.B.C.D.【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求得x的范围，进行判断.【解】A.x20，解得：x2，故选项错误； B.x30，解得：x3，选项错误；C.x20，解得：x2，则x可以取2和3，选项正确；D.x30，解得：x3，x不能取2，选项错误.故选C. 例19已知x、y为实数，且y=，则xy= .【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0可得x可能的值，进而得到y的值，相减即可.【解】解：由题意得x29=0，解得x=3，y=4，xy=1或7.故答案为1或7.【说明】1.二次根式的复习要紧紧抓住被开方数大于等于0及二次根式本身大于等于0这两点展开问题的分析；2.二次根式的复习要从运算角度，沿着整数(式)、分数(式)这样一条线来认识二次根式的运算.专题10：二次根式的运算1.运算： 二次根式的加减运算与整式的加减运算类似，只需对同类二次根式进行合并； 二次根式的乘除法是二次根式性质的逆向运用； 二次根式运算结果中的每一项都应该是最简二次根式.例20计算的结果是 .【考点】分母有理化、二次根式化简.【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案.【解】=.故答案为：.例21计算：(2014)0+|3|.【考点】二次根式的混合运算；零指数幂.【分析】根据零指数幂和分母有理化得到原式=1+232，然后合并即可；【解】原式=1+232=2.【说明】 1.二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式； 2.实数运算中的运算律、运算法则及所有的乘法公式，在二次根式的运算中仍适用.【基本思想方法专题讲解】专题1：数形结合思想数轴的应用1.数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合.通过数形转化，提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易，化抽象为具体.数形结合是连接“数”与“形”的“桥梁”，它是一种重要的数学思想方法.2.数轴形象地反映了数与点之间的关系，借助于数与形的相互转化来解决数学问题，数轴具有如下作用：(1)利用数轴可以用点直观地表示数；(2)利用数轴可以比较数的大小；(3)利用数轴可以进行有理数的加减运算；(4)利用数轴解决绝对值问题. 例22实数a在数轴上的位置如图，化简=.【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴.【分析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加法，可得答案.【解】=， 故答案为：1.专题2：特殊到一般 当某个数学问题涉及到相当多乃至无穷多的情形，头绪纷乱，难以下手时，行之有效的方法就是通过对若干简单情形进行考察，可以从特殊入手，发现其内在变与不变的规律，从而解决问题. 例23将一组数，3，2，3，按下面的方式进行排列：，3，2，；3，2，3，；若2的位置记为(1，4)，2的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为().A.(5，2)B.(5，3)C.(6，2)D.(6，5)【考点】找规律.【分析】根据观察，可得，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案.【解】3=，3得被开方数是得被开方数的30倍，3在第六行的第五个，即(6，5)，故选：D.专题3：整体代入法在求代数式的值时，如果题目中所求的代数式是已知代数式的一部分(或全部)，各同类项的系数对应成比例，就可以把这一部分看作一个整体，再把要求值的代数式变形后整体代入，这种求代数式值的方法称为整体代入法.例24计算：的结果是 .【考点】实数计算.【分析】本题不可能直接计算，发现多次出现，可用整体方法设x=，把算式简化.【解】设x=，则原式=(1x)(x+)(1x)x=.例25已知，则的值为(). A.1 B. C. D.【考点】代数式求值；分式的混合运算.【分析】 所求式子后两项提取公因式变形后，将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值.【解】，