例谈回避分类讨论的优化策略(中学理科).doc

例谈回避分类讨论的优化策略浙江省诸暨市学勉中学 （311811） 郭天平分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，渗透到整个中学数学每个章节，一直是高考中的热点和重点，由于这类题目综合性强，逻辑性严，探索性开放，自然也是高考的难点.我们在重视分类讨论思想应用的基础上，也要注意克服动辄加以讨论的思维定势，要充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和简单性，尽力打破常规，避免不必要的分类讨论.下面通过举例谈谈如何避免分类讨论的优化策略.一、巧用公式，回避讨论由于三角函数部分公式繁多，解题中要尽量避免由于角的条件去讨论三角函数的符号，因此选择恰当的公式，可回避讨论，化繁为简.例1 已知求的值.分析 若选用公式来求，必须对分两部分和分别讨论的符号；若根据的范围，直接选用恰当的平方关系式，则可有效地避开讨论.解 二、引参换元，回避讨论引入参变量，作为揭示变量间的内在联系的媒介，能帮助对运动变化过程作出定量的刻画，消化难点，化难为易.例2 解不等式分析 本题按常规解法是去分母，两边平方去根号，而且需要讨论左右的正负情况，若我们注意观察原不等式，引入参数，进行三角换元，可避免繁琐的解题过程.解 令，则原不等式可化为：，解得，故，所以原不等式的解集为.三、分离参数，反客为主，回避讨论在含参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的解析式，另一端是无参数的的主变元函数，从而分离参数，反客为主，接下去需解有关主变元函数的有关问题，往往可以回避讨论.例3 若 在时恒为正数，求实数的取值范围. 分析 本题形式上是关于的二次函数，如果用换元的方法去讨论，明显较繁.若能变更主元把原函数看成是关于的一次函数，问题便迎难而解了. 解 设关于的函数 = 当时恒成立. 即只须满足1 x . 评注：本题的解法侧重于对题意等价地“改头换面”，更直截了当地把握了问题的本质.四、消除参数，回避讨论例4 设01，0，0，试比较的大小.分析 一般情况下比较大小我们采用作差，对底数的取值范围加以讨论脱去绝对值符号，因是讨论因素，若能消去参数，则可避免讨论，何乐而不为呢！为此作商，运用换底公式，可得到明显的效果.解 又时，.五、整体化归，回避讨论例5（2002年高考题）函数在0，1上的最大值与最小值的和为3，则 .分析 此题的常规思维是对底数分来讨论确定函数的单调性，再分别求出在0，1上的最大值与最小值后求值；若从整体思维出发，单调函数在闭区间上的最值总是在端点处达到，则可回避讨论，直接求解.解 由题设得 ，故说明：将数学问题分成若干问题，逐个击破，分而治之固然重要，但有时若能有意识的放大看问题的视线，将问题视为整体，去研究整体的形式与结构，可能会起到意想不到的效果.六、数形结合，回避讨论利用函数图像、几何图形的直观性能巧妙地将数量关系与空间图形有机的结合起来，有时也可以回避问题的讨论.例6 已知集合，若，求的范围.oyx解析 按照不等式知识须分分类讨论求出集合，而用数形结合来解就不必讨论.由,解得令，如图，不论的，由.七、巧用补集思想，不正则反，回避讨论有些问题，分类讨论比较麻烦，若用补集法去考虑问题的对立面，即从结论的反面去思考和探索，得出反面结论，结合集合性质，可以将题目化难为易，化繁为简，开拓解题思路.例7 如果二次函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求的取值范围.解析 若从正面求解，必须要对“两交点均在原点右侧”，“一个交点在原点右侧另一个交点在原点左侧”等情况进行分类讨论；若从反面考虑问题，即先考虑两个交点都在原点