2014全国高中数学联赛湖北预赛(高一年级)Word版-全解全析-(1).doc

2014全国高中数学联赛预赛（高一年级）一、填空题（本题满分90分，第小题9分，直接将答案写在横线上。）1、若非空集合，则能使成立的所有的集合是_.2、在四边形中，则与的面积之比为_.3、已知是定义在上的函数，且对任意的都有，则_.4、在中，则的最大角的余弦值为_.5、在平面直角坐标内，曲线围成的图形的面积是_.6、在单调递增数列中，已知，且，成等差数列，成等比数列，.那么，_.7、去掉集合中所有的完全平方和和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第_项.8、若函数在区间上递增，则的取值范围是_.9、若且，则称为集合的孤立元素.那么，集合的无孤立元素的4元子集有_个.10、已知，且，则的最大值为_.二、解答题（本题满分60分，第小题20分。）11、求函数的值域.12、已知数列满足：，.（）求数列的通项公式；（）证明：.13、已知函数.（）求函数的最值；（）如果函数在上恰有2014个零点，求的取值范围.2014全国高中数学联赛湖北预赛（高一年级）参考答案一、填空题（本题满分90分，第小题9分，直接将答案写在横线上。）1、若非空集合，则能使成立的所有的集合是_.解：因为，所以，.因为集合是非空集合，所以，解得.2、在四边形中，则与的面积之比为_.解：因为，所以， .设，则有.所以四边形为平行四边形，.3、已知是定义在上的函数，且对任意的都有，则_.解：因为，所以.又因为，所以.所以.4、在中，则的最大角的余弦值为_.解：设角的对边分别为.因为，所以，即.因为，所以，.所以.5、在平面直角坐标内，曲线围成的图形的面积是_.解：依题意得，如图结合图象可知，该曲线所围成图形的面积为两个梯形面积之和，等于5.6、在单调递增数列中，已知，且，成等差数列，成等比数列，.那么，_.解：因为单调递增，所以.因为，成等差数列，成等比数列，所以.因为，所以，数列是等差数列.易得，所以.所以，.7、去掉集合中所有的完全平方和和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第_项.解：因为，且，所以有1，2，3，2014中删去了44+9=53个数.因为2014-53=1961，所以2014是这个数列的第1961项.8、若函数在区间上递增，则的取值范围是_.解：（）当时，只需，解得.（）当时，只需，解得.综上，的取值范围是.9、若且，则称为集合的孤立元素.那么，集合的无孤立元素的4元子集有_个.解：（）4个元素均相邻，由枚举法可得，有6个符合题意的集合.（）4个元素中2个元素相邻，另2个元素也相邻，但4个元素不相邻，由枚举法可得，有15个符合题意的集合.综上，集合共有无孤立元素的4元子集21个.10、已知，且，则的最大值为_.解：因为，所以，.所以，的最大值为.二、解答题（本题满分60分，第小题20分。）11、求函数的值域.解：函数的定义域为.（）当时，.（）当或时，.令，则，此时在上单调递增，在上单调递减，.（）当时，同（）得，此时单调递减，.综上，的值域为.12、已知数列满足：，.（）求数列的通项公式；（）证明：.（）解：因为，所以.因为，所以.（）证明：因为 ，所以.13、已知函数.（）求函数的最值；（）如果函数在上恰有2014个零点，求的取值范围.（）解：.（）当时，.令，则，.在上单调递减，.（）当时，.令，则，.在上单调递增，.综上，的最大值为，最小