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微分方程实习报告班级 :数学与应用数学2010级1班姓名 :任超学号 :201007010109题目 : 微分方程的总体综述2012.12.28微分方程的总体综述摘要：在17-18世纪社会生产力发展的需求与科学数学化进程的影响下，微积分本身进一步深入发展并在力学、物理学、声学和几何学等方面广泛应用，刺激和推动了一系列应用分支的形成，微分方程理论正是在这一时代背景下应时而兴的. 同期出现的还有微分几何、变分法、无穷级数等，它们与微分方程理论相互影响，相互促进，共同组成了18世纪庞大的数学分支分析学。微积分的创立，被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”。微积分终于打开了“通往数学的王者道路”。这一在资本主义初期由于社会生产需要而产生的新数学工具又反过来为自然科学和社会技术服务，18世纪数学出现了蓬勃发展的热潮。在科学数学化进程的深入影响下，数学的地位日益增强。社会生产的需要和科学的发展都迫切要求加大微积分的应用范围，微积分开始和力学、物理学等一系列科学紧密结合，微分方程是这一结合的生长点之一，其结合主要体现在以下几个方面。从牛顿时代起，物理问题就成为微分方程形式出现的一个重要源泉。随着微积分的应用及物理学的深入发展，需用微积分解决的物理问题越来越多。有的问题无法找到变量间的直接关系，但可以找到变量变化率间的关系，这一关系可表述为各种各样的微分方程。同时数学家在运用微积分解决各种物理、力学问题的同时，产生出许许多多的微分方程。如刚体力学的基本方程就是一个微分方程组。流体力学的基本方程就是所谓纳维斯托克斯方程，弹性力学的方程一般是高阶方程。电磁学提出了著名的拉普拉斯方程，光学和声学提出了波动方程，热学提出了热传导方程，量子力学中提出了薛定愕方程。等等，这样的微分方程真是数不胜数。正如对18世纪数学一个重要特征所述，工作的目标不是数学，而是求解物理问题:数学是达到物理目的的一种方法，微分方程正是数学与物理的结合点，其形式上的大量出现必然会推动理论的发展。几何学中提出的微分方程也很多。如平面二次曲线方程含有五个参数，两端对x求五次微商，连同原方程共得到六个方程，消去参数就得到微分方程又如曲面变形论提出了微分方程组一 微积分创立中的常微分方程微分和积分的互逆关系不但是创立微积分的关键所在，更是微分方程求解的理论基础。牛顿的微分方程思想萌生于其微积分的创始期，最早表述于他提出的微积分基本问题。牛顿能在史无前例的情况下提出微积分基本问题，与他早年研读的著作是分不开的。1661年，牛顿进入剑桥大学三一学院，开始广泛研读笛卡尔、巴罗和沃里斯等人的著作。笛卡尔几何学(1637年出版)中提出求切线的“圆法”，是牛顿走上研究微积分道路的方法基础，而笛卡尔提出并解决的“切线的反问题”，启发牛顿从求面积转向求切线。巴罗在1670年出版的第二版光学讲义(LectionesOPticae)中，给出相当于微积分基本定理的几何关系，不过由于纯几何形式而未被意识到。这些著作启迪他发现了微分和积分的互逆关系，完成了微积分创立中最后也是最关键的一步，同时迈出了求解微分方程的第一步。牛顿在微分方程求解方面最成功的方法莫过于级数法了，他对无穷级数的熟练应用来自于沃利斯(Wallis，John，1616-1703)的无穷算术(rithmeticainfinitorum)，其中对数列插值表示圆面积无穷乘积的方法启发了牛顿，他另辟蹊径，在得到二项定理后又得到一系列函数的无穷级数，特别是在得出表示双曲线面积的级数展开式后，牛顿开始尝试解简单的微分方程式。这一成果为他开创级数解法提供了方法基础，无穷级数也从此成为研究微分方程不可缺少的工具。二 伯努利家族对微分方程求解的贡献伯努利家族在微分方程方面的贡献跨越17世纪后期和整个18世纪。在老尼古拉的影响下，雅各布、约翰和丹尼尔是该家族中在微分方程领域贡献最卓著的二位数学家。1682年，莱布尼茨己成为新的LeiPzig期刊教师学报的主编.1684年和1686年，他在该刊上发表了其关于微积分学研究结果的论文。雅各布对此陷入了痴迷，他像发现财宝一样发现了微分演算的奠基性工作。莱布尼茨1684年的文章非常简洁、几乎没有证明和解释。即使对于雅各布这样天才的数学家，理解也十分困难。1687年，雅各布写信给莱布尼茨，希望他能传授其新方法的奥秘。适逢莱布尼茨正在国外旅行，直到1690年，雅各布才收到回信。在此期间，雅各布独立地弄通了费解的原文，揭开了新分析的神秘，并且立刻将结果介绍给弟弟约翰。兄弟俩一道成为这位伟大学者最早、最忠实的追随者。 1.作出分离变量法和齐次方程求解的详尽说明1694年5月9日的教师学报中，约翰对莱布尼茨的分离变量方法和齐次方程的求解作出完整说明，并给出详尽过程。对抛射体在阻力正比于速度任何次幂的介质中运动的问题，约翰通过建立一阶微分方程 并应用他建立的方法求解。2. 首先采用积分因子法随着求解的深入，左端正好是某个函数微分的一阶恰当方程逐渐被认识。当左端不是函数的微分时，可将方程乘上一个因式，使其成为恰当方程，该因式即积分因子。约翰最先发现了积分因子。他在求解方程时，不用分离变量法，而是用关系式引出积分因子将原方程化为此即3. 伯努利方程求解1691年，变量分离方法的成功，使求解微分方程开始变得炽热起来，一阶齐次方程和一阶线性方程的求解相继被攻破。与一阶线性方程 的形式接近，天才的雅各布发现了方程并将求解作为难题在1695年的教师学报上登出以寻求解答。次年的教师学报中，雅各布本人用变量分离法求解，该方程即以他的名字被命名为“伯努利方程”。三. 欧拉时代在求解微分方程方面的贡献1700年，约翰指出，用形状的因子可以逐次降低线性方程的阶数，此即欧拉方程，但他没有及时刊载结果又在1734年，欧拉通过分离变量法求解一般一阶线性方程， 得到现代形式表示的通解四一个求解微分方程的新方法与微分方程的展望在实际中,对于常微分方程的求解主要依靠数值解法.所谓数值解法,就是寻求解析解 y ( x) (假设存在)在一系列离散节点上的近似值,相邻两个节点的间距 ,一般称为步长,为了理论推导的方便,总是假定 h 为定数(实际编程中可以通过程序控制 h 的变化) ,这时节点 ,n =0,1,2,3对于该初值问题的数值解法有个特征,就是采取“步进法” ,即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地。一般采用Euler 公式、梯形公式、 Runge-Kutta 公式、Adams公式，这种方法以微分中值定理和 Taylor 级数为工具导出一个公式L - T 公式。总之，微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，自 1693 年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历漫长而又迅速的发展，极大丰富了数学家园的内容。随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展，比如偏微分方程的迅速发展。可以预测:随着依赖数学为基础的其它学科的发展 ,微分方程还会继续扩展。 参考文献 1) 李文林.关于牛顿制定微积分若干史实的注记.自然科学史研究1989.8.2.138-146. 2) 李文林