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中考一元二次方程综合题例析 广东省高州市分界中学 李 国 一元二次方程综合题是中考热点 常常结合其他方面知识进行考查 下面通过几个例 子进行分类解析 一 一元二次方程与一次函数综合一 一元二次方程与一次函数综合 例例 1 2010 年绵阳市 已知关于 x 的一元二次方程 x2 2 1 m x m2 的两实数 根为 x1 x2 1 求 m 的取值范围 2 设 y x1 x2 当 y 取得最小值时 求相应 m 的值 并求出最小值 分析 分析 1 若一元二次方程有两不等根 则根的判别式 b2 4ac 0 建立关于 m 的不等式 可求出 m 的取值范围 2 根据根与系数的关系可得出 x1 x2的表达式 进 而可得出 y m 的函数关系式 根据函数的性质及 1 题得出的自变量的取值范围 即可 求出 y 的最小值及对应的 m 值 解解 1 将原方程整理为 x2 2 m 1 x m2 0 原方程有两个实数根 2 m 1 2 4m2 8m 4 0 得 m 2 x1 x2为 x2 2 m 1 x m2 0 的两根 y x1 x2 2m 2 且 m 因而 y 随 m 的增大而减小 故当 m 时 取得最小值 1 二 一元二次方程与反比例函数综合二 一元二次方程与反比例函数综合 例例 2 2010 年山东淄博改编 已知关于 x 的方程 若以方程 的两个根为横坐标 纵坐标的点恰在反比例函数的图象上 求 满足条件的 m 的最小值 分析分析 写出两根之积 两根之积等于 m 进而求出 m 的最小值 解解 设方程的两个根为 根据题意得 又由一元二次方程根与系数的关系得 那么 所以 当 k 2 时 m 取得最小值 5 点评 点评 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 是一个综合性的题目 也是一个 难度中等的题目 三 一元二次方程与二次函数综合三 一元二次方程与二次函数综合 例例 3 3 2008 年湖北荆州市 已知 如图 Rt AOB 的两直角边 OA OB 分别在 x 轴的正 半轴和 y 轴的负半轴上 C 为 OA 上一点且 OC OB 抛物线 y x 2 x m p 2 p m m p 为常数且 m 2 2p 0 经过 A C 两点 1 用 m p 分别表示 OA OC 的长 2 当 m p 满足什么关系时 AOB 的面积最大 分析分析 1 因为 A C 点都在 x 轴上 所以令 y 0 即可求出 p 的值 2 根据三角形 的面积公式列出 AOB 的面积表达式 再根据二次函数最值得表达式求解即可 解解 1 令 y 0 得 x 2 x m p 2 p m 0 整理得 x p x m 2 p 0 x1 p x2 m 2 p m 2 2 0 m 2 p p 0 OA m 2 p OC P 2 OC OB S AOB OA OB S AOB OA OB P m 2 p P2 m 2 P 当 p m 2 时 S AOB最大 点评点评 掌握二次函数的图象 最大值 最小值 二次函数中求三角形面积的问题 通 常情况下都是涉及其最高点 最低点的问题 四 一元二次方程四 一元二次方程与不等式与不等式综合综合 例例 4 4 2008 年湖北荆州市 关于的方程两实根之和为 m 且满 足 关于 y 的不等于组有实数解 则 k 的取值范围是 分析 分析 因为方程有两实根 所以 2 k 1 2 4k2 0 0 又因为关于 y 的不等式组 y 4y m 有实数解 所以 y 一定介于 4 与 m 之间 即 m 一定 大于 4 因此 m 2 k 1 4 然后解不等式即可求出 k 的取值范围 解 解 方程 x2 2 k 1 x k2 0 有两实根 2 k 1 2 4k2 0 解得 k 12 关于 y 的不等于组有实数解 m 4 又 m 2 k 1 2 k 1 4 解得 k 1 k 的取值范围是得 1 k 12 故填空答案 1 k 12 点评 点评 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系 在解不等式时一定要注意数值 的正负与不等号的变化关系 五 一元二次方程与概率综合五 一元二次方程与概率综合 例例 5 2010 年黄冈市 甲 乙两同学投掷一枚骰子 用字母 p q 分别表示两人各投掷 一次的点数 1 求满足关于 x 的方程有实数解的概率 2 求 1 中方程有两个相同实数解的概率 分析分析 1 方程 x2 px q 0 有实数解 则 p2 4q 0 把投掷骰子的 36 种 p q 对应值 代入检验 找出符合条件的个数 2 方程 x2 px q 0 有相同实数解 则 p2 4q 0 把投 掷骰子的 36 种 p q 对应值 代入检验 找出符合条件的个数 解解 两人投掷骰子共有 36 种等可能情况 1 其中使方程有实数解共有 19 种情况 p 6 时 q 6 5 4 3 2 1 p 5 时 q 6 5 4 3 2 1 p 4 时 q 4 3 2 1 p 3 时 q 2 1 p 2 时 q 1 故其概率为 2 使方程有相等实数解共有 2 种情况 p 4 q 4 p 2 q 1 故其概率为 点评点评 本题考查一元二次方程根的判别式和概率关系 同时考查了学生的综合应用能 力及推理能力 用到的知识点为 概率 所求情况数与总情况数之比 一元二次方程有实 数根 判别式为非负数 六 一元二次方程与几何知识综合六 一元二次方程与几何知识综合 例例 6 2009 年黄石市 三角形两边的长是 3 和 4 第三边的长是方程 的根 则该三角形的周长为 A 14 B 12 C 12 或 14 D 以上都不对 分析 分析 易得方程的两根 那么根据三角形的三边关系 排除不合题意的边 进而求得 三角形周长即可 解解 解方程得 x 5 或 x 7 当 x 7 时 3 4 7 不能组成三角形 当 x 5 时 3 4 5 三边能够组成三角形 该三角形的周长为 3 4 5 12 故选 B 点评点评 本题主要考查三角形三边关系 注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角 形 例例 7 2009 年襄樊市 如图 在中 于 且是一元二次方程的根 则的周长为 A B C D 分析分析 先解方程求得 a 再根据勾股定理求得 AB 从而计算出的周长即 可 解解 a 是一元二次方程 x2 2x 3 0 x 1 x 3 0 即 x 1 或 3 AE EB EC a a 1 在 Rt ABD 中 AB a 2 的周长 4a 2a 4 2 故答案为 A 点评 点评 本题考查了用因式分解法解一元二次方程 以及平行四边形的性质 是基础知 识要熟练掌握 例例 8 8 2010 年兰州市 已知两圆的半径 R r 分别为方程的两根 两 圆的圆心距为 1 两圆的位置关系是 A 外离 B 内切 C 相交 D 外切 分析分析 本题可先求出方程的根即两圆的半径 R r 再根据由数量关系来判断两圆位置 关系的方法 确定两圆的位置关系 设两圆圆心距为 P 两圆半径分别为 R 和 r 且 R r 则有 外离 P R r 外切 P R r 相交 R r P R r 内切 P R r 内含 P R r 解 解 两圆的半径分别是方程的两根 两圆半径和