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哈尔滨工程大学试卷微积分A（一）（A卷）2011年1月11日一、填空(15分) 1. 若函数为连续函数, 则 . 2. 已知函数, 则微分 . 23. 函数的麦克劳林公式中, 项的系数是 . 4. 已知定积分, 则常数 . 5. 心形线的全长为 . 8二、单选题(15分) 1. 当时, 与等价的无穷小是( ).(A) (B) (C) (D) 2. 设函数有第二类间断点, 可去间断点, 则常数的值为( ).(A) (B) (C) (D) 3. 设函数, 则 的零点的个数为( ).(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44. 下列广义积分收敛的是( ).(A) (B) (C) (D) 5. 下列说法正确的是( ).(A) 若数列单调增加, 非负函数 单调减少, 则数列收敛(B) 若函数连续, 且, 为常数, 则(C) (D) 设函数连续, 若为曲线的拐点, 则不是函数的极值.三、计算题(48 = 32分) 1. 计算极限. 【解】 ;.【另解】 .2. 设函数由方程 求和.【解】 方程两边同时对x求导:, ;.3. 已知函数由参数方程确定, 求和.【解】 ;两边对求导:,;4. 设, 求: (1) 的单调区间; (2) 的凹凸区间.【解】 ; . 在内, , 函数单调减区间;在内, , 函数单调减区间.在内, , 函数为凸;在内, , 函数为凹. 四、计算题(36 = 18分) 1. 计算不定积分.【解】 .2. 计算定积分.【解】 .【另解】 .3. 设函数的二阶导数在上连续, , 计算积分.【解】 .五、应用题(7分)已知抛物线、直线以及轴在第一象限围成了平面图形, 求: (1) 的面积; (2) 绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.【解】 (1) ;(2) 方法1: ; 方法2: .六、证明题计算题(5+5+3 = 13分) 1. 当时, 求证.【证明】 , ;, ;.从而 ;,.2. 已知函数在上有二阶导数, , .(1) 求证: 存在使得;(2) 求证: 存在使得.【证明】 (1) 令的原函数为, 从而.(2) 再由罗尔定理, 存在使得; 设, 则函数在满足罗尔定理的条件, 从而存在使得 ,即, .3. 用极限的语言证明
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