北师大版选修22 第二章2导数的概念及其几何意义.pptx

第二章变化率与导数 2导数的概念及其几何意义 1 通过瞬时变化率理解导数 能解释函数在某点处的导数的实际意义 会求简单函数在某点处的导数 2 通过函数图像直观地理解导数的几何意义 理解曲线在其上某点处的切线的概念 会求简单函数的图像在某点处的切线 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一导数的概念设函数y f x 当自变量x从x0变到x1时 函数值从f x0 变到f x1 函数值y关于x的平均变化率为 当x1趋于x0时 即 x趋于0时 如果平均变化率趋于一个 那么这个值就是函数y f x 在x0点的瞬时变化率 在数学中 称瞬时变化率为函数y f x 在x0点的导数通常用符号f x0 表示 记作f x0 答案 固定的值 答案 思考 1 如何理解 x y 答案 x是自变量x在x0处的改变量 所以 x可正 可负 但不能为零 当 x 0 或 x 0 时 x 0表示x0 x从右边 或从左边 趋于x0 y是相应函数的改变量 y可正 可负 也可以为零 答案 2 求函数y f x 在点x0处的导数的基本步骤是什么 答案求导数的步骤 由导数的定义知 求函数y f x 在点x0处的导数的步骤 第一步 求函数值的改变量 y f x0 x f x0 上述求导方法可简记为 一差 二比 三极限 答案 知识点二导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的 即k f x0 对导数几何意义的理解应注意 1 若曲线y f x 在点p x0 f x0 处的导数不存在 但有切线 则切线与x轴垂直 2 显然f x0 0 切线的倾斜角为锐角 f x0 0 切线与x轴正向的夹角为钝角 f x0 0 切线与x轴平行或重合 3 曲线的切线是用导数来定义的 是割线的极限位置 斜率k 4 如图所示 尽管直线l1与y f x 有两个公共点 但l1也称为y f x 在点a处的切线 尽管直线l2与y f x 仅有一个公共点 但l2不是y f x 在点b处的切线 即切线与曲线公共点的个数无关 只是割线的极限位置 5 在曲线y f x 上一点a处的切线有且仅有一条 而割线可以有无数条 思考 1 曲线的割线与切线有什么关系 答案曲线的切线是由割线绕一点转动 当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线 曲线的切线并不一定与曲线有一个交点 2 曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系 答案函数f x 在x0处有导数 则在该点处函数f x 表示的曲线必有切线 且在该点处的导数就是该切线的斜率 答案 返回 题型探究重点突破 解析答案 反思与感悟 题型一导数概念的应用例1求函数y f x 2x2 4x在x 3处的导数 解 f x 2x2 4x y f 3 x f 3 12 x 2 x 2 4 x 2 x 2 16 x 2 3 x 2 4 3 x 2 32 4 3 2 x 16 反思与感悟 解析答案 解析答案 反思与感悟 题型二求曲线的切线方程1 求曲线在某点处的切线方程例2求曲线y f x x3 x 3在点 1 3 处的切线方程 2 故所求切线方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 若求曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线方程 其切线只有一条 点p x0 y0 在曲线y f x 上 且是切点 其切线方程为y y0 f x0 x x0 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 1 曲线f x x3 x2 5在x 1处切线的倾斜角为 解析设切线的倾斜角为 0 2 曲线y f x x3在点p处切线斜率为3 则点p的坐标为 解析答案 点p的坐标是 1 1 或 1 1 1 1 或 1 1 解析答案 反思与感悟 2 求曲线过某点的切线方程例3求过点 1 2 且与曲线y 2x x3相切的直线方程 又 切线过点 1 2 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 当切点为 0 0 时 切线斜率为2 切线方程为y 2x 综上可知 过点 1 2 且与曲线相切的直线方程为y 2x或19x 4y 27 0 若题中所给点 x0 y0 不在曲线上 首先应设出切点坐标 然后根据导数的几何意义列出等式 求出切点坐标 进而求出切线方程 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3求过点p 3 5 且与曲线y x2相切的直线方程 设所求切线的切点为a x0 y0 点a在曲线y x2上 又 a是切点 过点a的切线的斜率 2x0 所求切线过p 3 5 和a x0 y0 两点 解析答案 解得x0 1或x0 5 从而切点a的坐标为 1 1 或 5 25 当切点为 1 1 时 切线的斜率为k1 2x0 2 当切点为 5 25 时 切线的斜率为k2 2x0 10 所求的切线有两条 方程分别为y 1 2 x 1 和y 25 10 x 5 即2x y 1 0和10 x y 25 0 题型三导数几何意义的综合应用例4设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求a的值 解析答案 反思与感悟 解 y f x x f x x x 3 a x x 2 9 x x 1 x3 ax2 9x 1 3x2 2ax 9 x 3x a x 2 x 3 反思与感悟 由题意知f x 最小值是 12 a 0 a 3 与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识 如直线的方程 直线间的位置关系等 因此要综合应用所学知识解题 反思与感悟 解析答案 跟踪训练4 1 已知函数f x 在区间 0 3 上的图像如图所示 记k1 f 1 k2 f 2 k3 f 2 f 1 则k1 k2 k3之间的大小关系为 请用 连接 解析结合导数的几何意义知 k1就是曲线在点a处切线的斜率 k2则为在点b处切线的斜率 而k3则为割线ab的斜率 由图易知它们的大小关系 k1 k3 k2 解析答案 2 曲线y 和y x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 故交点坐标为 1 1 曲线y x2在点 1 1 处切线方程为l2 2x y 1 0 易错易混 因对 在某点处 过某点 分不清致误 例5已知曲线y f x x3上一点q 1 1 求过点q的切线方程 解析答案 返回 防范措施 错解因y 3x2 f 1 3 故切线方程为3x y 2 0 错因分析上述求解过程中 忽略了当点q不是切点这一情形 导致漏解 正解当q 1 1 为切点时 可求得切线方程为y 3x 2 解析答案 防范措施 防范措施 所以 x0 1 2 2x0 1 0 综上 所求切线的方程为3x y 2 0或3x 4y 1 0 解题前 养成认真审题的习惯 其次 弄清 在某点处的切线 与 过某点的切线 点q 1 1 尽管在所给曲线上 但它可能是切点 也可能不是切点 防范措施 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 下列说法中正确的是 a 和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线b 和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线c 曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点d 曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点 d 1 2 3 4 5 解析答案 2 已知曲线y f x 2x2上一点a 2 8 则点a处的切线斜率为 a 4b 16c 8d 2 c 1 2 3 4 5 解析答案 3 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则 a a 1 b 1b a 1 b 1c a 1 b 1d a 1 b 1解析由题意 知k y x 0 又 0 b 在切线上 b 1 故选a a 1 2 3 4 5 解析答案 a 30 b 45 c 135 d 165 y x 1 1 b 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知曲线y f x 2x2 4x在点p处的切线斜率为16 则p点坐标为 令4x0 4 16得x0 3 p 3 30 3 30 课堂小结 2 函数f x 在点x0处的导数 是一个数值 不是变数 导函数 是一个