北师大版数学九年级上期中备考点拔(培优).doc

一、初中几何最重要的解题工具：全等【例一】如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长练习一：（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，ABC=90，ADBC，AB=BC，E是AB的中点，CEBD（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）DBC是等腰三角形吗？并说明理由 练习二：两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由练习三：如图，已知ABD，BCE，ACF都是等边三角形（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；（2）ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由练习四：已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DEAC，DFAB，垂足分别是E、F，且BF=CE（1）求证：ABC是等腰三角形；（2）当A=90时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论如图，练习五：正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG，EF交AD于点H（1）求证：AH=EH；（2）若正方形ABCD的边长为3，求DH的长二、平行加角平分线问题【例一】如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC，BAD的平分线AE交BC于E，G是AD的中点，连接DE（1）猜想四边形ABED的形状，并说明理由；（2）当AB与EC满足怎样的数量关系时，EGCD？并说明理由练习一：如图，AD是ABC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中点.求证：(1)DEAB; (2).三、容易被忽略的解题思路：面积【例一】上课时老师出示了下面的题目：如图1，正ABC中，P为BC上一点，作PEAB，PFAC，BGAC，垂足分别为E，F，G求证：PE+PF=BG喜欢思考的小明，给出了如下证法：证明：连接AP，SABC=SABP+SACP又PEAB，PFAC，BGACAB=ACBG=PE+PF老师非常赞赏，面积法证明本题真简洁!老师又引导学生继续探索（1）当点P在CB延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，探究三条线段之间PE，PF，BG之间的数量关系写出猜想，不要求证明（2）将“P为BC上一点”改成”P为正ABC内一点”，作PEAB，PFAC，PMBC，BGAC，垂足分别为E，F，M，G有类似结论吗？请写出结论并证明若点P在如图所示的位置时，的结论是否成立？试探究四条线段PE，PF，PM，BG的数量关系练习一：已知：如图，AD是ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则ABD与ACD的面积之比为（）A3：2B9：4C2：3D4：9练习二：已知矩形ABCD和点P，当点P在如图所示的位置时，则有结论：SPBCSPACSPCD理由如下：过点P作EF垂直BC，分别交AD，BC于E，F两点，则PEAD SPBCSPADBCPFADPEBC（PFPE）BCEFS矩形ABCD，又 SPACSPCDSPADS矩形ABCD， SPBCSPADSPACSPCDSPAD SPBCSPACSPCD请你参考上述信息，当点P分别在如图（2）所示，如图（3）所示的位置时，SPBC，SPAC，SPCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明练习四：如图，在ABCD的纸片中，ACAB，AC与BD相交于O，将ABC沿对角线AC翻转180，得到.（1）求证：以A、C、D、为顶点的四边形是矩形；（2）若四边形ABCD的面积S12cm2. 求翻转后纸片重叠部分的面积，即.4、 利用勾股定理解题【例一】已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论答：对图（2）的探究结论为 对图（3）的探究结论为 【例二】如图，在RtABC中，C=900, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD，求AD的长. 练习题一：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长. 练习题二：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处, 已知AB =8 cm ; BC =10 cm求 (1).CF的长 (2).EC的长ABCDEF练习题三：将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）M为CD边的中点。求证：DE：DM：EM=3：4：5； 5、 平行四边形的补充性质【例一】如下图，已知ABCD。（1）试用三种方法将它分成面积相等的两部分。（保留作图痕迹，不写作法）（2）由上述方法，你能得到什么一般性的结论？（3）解决问题：有兄弟俩分家时，原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如下图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？（保留作图痕迹，不写作法） 练习一：在下面所给的图形中，若连接BC，则四边形ABCD是矩形，四边形CBEF是平行四边形。（1）请你在图（1）中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）；（2）请你在图（2）中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等简要说明你的画法六、直角三角形有关的两个互逆定理的证明1、 （1）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半（2）请你写出上述定理的逆定理，并证明。2、 （1）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （2） 写出上述定理的逆命题，并证明。七、菱形的面积问题探究教材习题3.5知识技能2题 求证：菱形的面积等于其对角线乘积的一半现证明如下：已知 ：菱形ABCD 对角线为AC和BD求证 ：菱形ABCD的面积=ACBD证明 四边形ABCD是菱形 AC BD CBD的面积=COBD ABD的面积=AOBD CBD的面积+ABD的面积=COBD+AOBD =BD(CO+AO)= ACBD而 菱形ABCD的面积=CBD的面积+ABD的面积 菱形ABCD的面积=ACBD【拓展性研究一】 筝形的面积等于其对角线乘积的一半 【 定义】两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形 如图，在筝形ABCD中， AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O 求证：筝形ABCD的面积=ACBD证明 四边形ABCD是筝形 由筝形定义可知AC BDCBD的面积=COBDABD的面积=AOBDCBD的面积+ABD的面积=COBD+AOBD =BD(CO+AO)= ACBD而筝形ABCD的面积=CBD的面积+ABD的面积 筝形ABCD的面积=ACBD【拓展性研究二】对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半。下面我们证明这个结论。已知：四边形ABCD中，对角线于E，如图求证：四边形ABCD的面积=ACBD证明 四边形ABCD的对角线 AC BD CBD的面积=CEBD ABD的面积=AEBD CBD的面积+ABD的面积=CEBD+AEBD =BD(CE+AE) = ACBD 而四边形ABCD的面积=CBD的面积+ABD的面积 四边形ABCD的面积=ACBD 练习一