PX题库----7.6圆的方程.doc

圆的方程7.5圆的方程1 圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆2圆的方程圆的标准方程： 圆心坐标： ；半径： 圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆圆的一般方程： 圆心坐标： ；半径： 二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得（x+）2+（y+）2=把方程其中，半径是，圆心坐标是叫做圆的一般方程（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数相等且不为零 没有xy项（2）当D2+E24F=0时，方程（*）表示点（，）；当D2+E24F0时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程圆的参数方程： 圆心坐标： ；半径： 圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程是：圆心在点，半径为的圆的参数方程是：在中消去得x2+y2=r2，在中消去得（xa）2+（yb）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程注意：方程表示圆的充要条件是 若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有A=C0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分在A=C0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，仅当D2+E24AF0时表示圆故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：A=C0，B=0，D2+E24AF03 点与圆的位置关系已知点及圆（1）点M在圆C上 ；（2）点M在圆C内 ；（3）点M在圆C外 。4 直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系有 （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）直线与圆相交 ；直线与圆相切 ；直线与圆相离 。（2）几何方法为圆心到直线的距离；圆的半径直线与圆相交 ；直线与圆相切 ；直线与圆相离 。（1）法一：直线：Ax+By+C=0；圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0。一元二次方程（2）法二：直线:Ax+By+C=0；圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d=5 圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则为圆心距 （1）当 时，两圆外离；（2）当 时，两圆外切；（3）当 时，两圆相交；（4）当 时，两圆内切；（5）当 时，两圆内含。|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；| r1-r2|O1O2| r1+r2两圆相交；| O1O2 |=| r1-r2|两圆内切；0| O1O2|0，即7m2-6m-10 （1） 半径r= 时， 0r （3）设圆心P（x，y），则消去m得：y=4(x-3)2-1又 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)（）直线和圆相切。1、已知圆上一点。2、已知圆外一点。已知直线过点，且与圆：相交，求直线的倾斜角的取值范围。 （学生思考后口答或板演，探索不同解法）解法一：设直线的方程为，即， 直线与圆相交，圆心到直线的距离小于半径，即，化简得，即，当时，；当时，所以，的取值范围是解法二：设直线的方程为，由 消去得：，直线与圆相交，化简得，（以下同解法一）。说明：（1）涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法； （2）本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案。已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程。解：当点不在坐标轴上时，设切线的斜率为，半径的斜率为，圆的切线垂直于过切点的半径，又，经过点的切线方程是，整理得：， 又点在圆上，所求的切线方程是当点在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用。求过点，且与圆相切的直线的方程。 解：设切线方程为，即，圆心到切线的距离等于半径，解得， 切线方程为，即，当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意。所以，所求的直线的方程是或自点A(1,4)发出的光线L1射到直线L2：x+y-2=0上被反射，其反射线恰与圆(x-3)2+(y-1)2=相切，求直线L1的方程。 解： 已知圆的圆心C（3,1)，半径r=，设C关于L2：x+y-2=0的对称点为C(x0,y0), 则有解出C(1,-1)。若L1与(x-3)2+(y-1)2=关于L2的对称圆相切，则反射线必与(x-3)2+(y-1)2=相切。 设L1：y-4=k(x-1)，即kx-y+4-k=0, d=, k2=49, k=7。故所求L1方程为：y-4=7(x-1)。 直线和圆相交弦长有关问题已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求此圆的方程。解：圆心在直线上，设圆的方程为， 圆与轴相切， 又圆心到弦的距离为， ，所以，所求的圆方程为或说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数； （2）要十分重视平面几何知识在解题中的运用。求经过点(1,2)，(3,4)且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程。 分析与解答： 方法一：若要建立所求圆的标准方程，可设圆心(a,b)，半径长r，圆C与x轴两交点为P(a-3,0)，Q(a+3,0), M(1,2), N(3,4)。 由KMN=1，MN中点坐标(2,3)，则MN的垂直平分线方程为y-3=-(x-2)，PQ的垂直平分线方程为x=a。 解方程组：得圆心C(a,5-a)。 由|CP|=|CM|得=，解出a1=-6, a2=4。 圆心C1(-6,11), r12=130, 圆心C2(4，1)，r22=10。 故所求圆为(x+6)2+(y-11)2=130或(x-4)2+(y-1)2=10。 方法二：已知圆过两个定点，便于求解圆的一般式方程，设所求圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0。 令y=0，得x2+Dx+F=0, 在x轴上截得弦长为： |x2-x1|=6。 将(1,2)，(3,4)代入圆方程可得方程组： 解出或 所求圆方程为x2+y2-8x-2y+7=0或x2+y2+12x-22y+27=0。 设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。设A关于直线x+2y=0的对称点为A由已知AA为圆的弦 AA对称轴x+2y=0过圆心设圆心P（-2a，a），半径为R则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2又弦长， 4(a+1)2+(a-3)2=2+ a=-7或a=-3当a=-7时，R=；当a=-3时，R= 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244已知直线L：2mx-y-8m-3=0和圆C：x2+y2-6x+12y+20=0。 （1）mR时，证明L与C总相交。 （2）m取何值时，L被C截得弦长最短，求此弦长。 分析与解答：（1）将直线L整理成点斜式方程y+3=2m(x-4)， 则直线过定点A(4,-3)，斜率为k=2m。 将圆整理为标准方程(x-3)2+(y+6)2=25，则圆心C(3,-6)，半径r=5。 由|AC|=5。 点A(4,-3)在圆C内，故mR，L与C总相交。 （2）由KAC=3，当L与AC垂直时，L被C截得弦长最短。 k=2m=-, m=-时，弦长最短。 设弦端点为P，Q，则|PQ|=2=2=2，即最短弦长为2圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦。（1）当时，求的长；（2）当的长最短时，求直线的方程。解：（1）当时，直线的斜率为， 直线的方程为，即解法一：（用弦长公式）由 消去得：，设，则，解法二：（几何法）弦心距，半径，弦长，（2）当的长最短时，直线的方程为，即两个圆圆心在直线上，且经过两圆和 的交点。两圆x2+y2=17和(x-2)2+(y-2)2=5的一个交点是P(1,4)，求过点P的直线L，使L被两个圆截得的弦长相等。 解：设所求直线为y-4=k(x-1)，即kx-y+4-k=0。 若所求直线被两圆截得弦长相等，则有：r12-d12=r22-d22 (r1,r2为已知圆半径，d1,d2为两圆心到所求直线距离) 17-=5-，解出k=0或k=-1，故所求直线为y=4或y-4=-(x-1)。 两圆与的公切线有 条。若两圆x2y2m与x2y26x8y110有公共点，则实数m的取值范围是 设，则两圆与的位置关系是 若两圆与相切，则实数 一动圆过定点且与定圆相切.求动圆圆心C的轨迹方程。判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系； （1）直线与圆总有两个不同的交点，则的取值范围是 （2）圆上到直线的距离等于1的点有 个；等于2的点有 个；等于5的点有 个；等于的点有 个。若直线ax+by=r2与圆x2+y2=r2相交，判断点(a,b)与圆x2+y2=r2的位置关系。 分析与解答：直线与圆相交，则圆心到直线距离小于半径 ， 即r2。即点(a,b)到圆心距离大于半径r, 点(a,b)在圆x2+y2=r2外。 若圆(x-3)2+(y-5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于5，则r的取值范围是（） A、(4,6)B、4,6)C、(4,6D、4,6 解：A。提示：如图，因为圆心O到直线4x-3y=2的距离正好等于1，我们可以作出和直线4x-3y=2距离为5的两条平行线，在图中，所求圆满足圆心在O,圆的边界落在过B点与一条平行直线相切的圆外和过C点与另一条平行直线相切的圆内，都是满足条件的圆。也即圆的半径取值范围时在OB到OC之间。 能解决与圆有关的最值问题。；圆上的点到直线的最近距离为 ，最远距离为 解：（作图分析）圆方程化为，圆心到直线的距离为，所求的最近距离为，最远距离为1若P(x,y)是圆x2+y2=25上一动点，则x+y的最大值是（）。 A、5B、10C、5D、以上均不正确 1C。提示：设x+y=t，将x2+y2=25化成只含有x的一元二次方程，则2x2-2tx+t2-25=0，满足=-t2+500，即t。(也可用参数方程来求) 能熟练解决与圆有关的轨迹问题已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。解：设是曲线上任意一点，由题意：， ，化简得，这就是所求的曲线方程。把方程配方得：，所以方程的曲线是以为圆心，为半径的圆。（作图）注意：本题也可以一般化 已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。提示：以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则可以按照上例的方法求解。可得：要注意讨论对曲线的形状的影响。求证：到圆心距离为的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。证明：建立直角坐标系，设圆以原点为圆心，为半径；圆以点为圆心，为半径。过点的直线与圆相切于点，直线与圆相切于点，且，则圆的方程为，圆的方程为， ， 由勾股定理得 ， 即，化简得 ，这就是点的轨迹方程，它表示一条垂直于轴的直线。求当点在以原点为圆心，为半径的圆上运动时，点的轨迹方程。解：设点为所求轨迹上任意一点，与对应的圆上的动点的坐标为，则所求轨迹的参数方程为 （为参数），消去参数，得轨迹的普通方程为 ，如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求MAQ垂心P的轨迹方程。解题思路分析：从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。连OQ，则由OQMQ，APMQ得OQAP同理，OAPQ又OA=OQ OAPQ为菱形 |PA|=|OA|=2设P(x，y)，Q(x0，y0)，则又x02+y02=4 x2+(y-2)2=4（x0）评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。已知定点A(3,0)及圆x2+y2=1上一动点B，O为原点。若AOB的平分线交AB于点Q，求动点Q的轨迹方程。 分析与解答：如图，设B(x0,y0), Q(x,y),由三角形内角平分线性质可得： =， Q点分所成比l=3， 即， (x0,y0)在圆x2+y2=1上， (x-1)2+(y)2=1，整理得(x-)2+y2=为所求Q点轨迹方程。 评析：此题采用了转化思想，要求Q点的轨迹方程，因为Q点坐标没有直接的关系式可利用，所以通过用Q点的坐标表示B点，又因为B点满足在已知圆上，故可以根据条件求出Q点的轨迹方程。代数与几何转换（1）已知直线：与曲线：有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 ；（2）若关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 解：（1）（数形结合）方程表示斜率为，在轴上截距为的直线；方程表示单位圆在上及其上方的半圆，如图，当直线过、两点时，它与半圆交于两点，此时，直线记为； 当直线与半圆相切时，直线记为 直线要与半圆有两个不同的公共点，必须满足在与之间（包括但不包括），即所求的的取值范围是（2）不等式恒成立，即半圆在直线上方，当直线过点时，所求的的取值范围是圆的参数方程把下列参数方程化为普通方程：（1） （为参数） （2） （为参数）解：（1），由得，这就是所求的普通方程。（2）由原方程组得，把代入得，化简得：（），这就是所求的普通方程。说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系， 保持等价性。如图，已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？解：设点，圆的参数方程为，设点，由线段中点坐标公式得，即点轨迹的参数方程为，点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆。【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？又解：设， 点是线段的中点，点在圆上， 即点的轨迹方程为，点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆。已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值。解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为 （为参数，），（1）， 当，即时，（2）， 当，即时，说明：本题也可数形结合解。若P(x,y)是圆x2+y2=25上一动点，则x+y的最大值是（）。 A、5B、10C、5D、以上均不正确 1C。提示：设x+y=t，将x2+y2=25化成只含有x的一元二次方程，则2x2-2tx+t2