北师大版选修21 2.4 用向量讨论垂直与平行 作业.docx

4用向量讨论垂直与平行1.若两个不同平面,的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(-4,-8,4),则()a.b.c.,相交但不垂直d.重合解析:由题意知u=-14v,.答案:a2.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为u=(-2,0,-4),则()a.lb.lc.ld.l与相交(不垂直)答案:b3.在正方体abcd-a1b1c1d1中,ef是异面直线ac和a1d的公垂线,则ef和bd1的关系是()a.垂直b.异面不垂直c.相交d.平行或重合解析:如图所示,连接b1c,由于ef是ac和a1d的公垂线,a1db1c,则efb1c,efac,即ef是平面ab1c的一个法向量.又可证明bd1也是平面ab1c的一个法向量,故efbd1,即efbd1.答案:d4.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为1,12,2,且l,则m的值为()a.1b.2c.4d.-4解析:l,l的方向向量与平面的法向量共线.(2,1,m)=1,12,2,解得m=4.答案:c5.在菱形abcd中,若pa是平面abcd的一个法向量,则以下等式中可能不成立的是()a.paab=0b.pcbd=0c.pcab=0d.pacd=0解析:pa平面abcd,bdpa.又acbd,pcbd,故选项b正确,选项a和d显然成立.答案:c6.给定下列命题:若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,且向量a与平面共面,则an=0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是.解析:正确,中应为n1n2.答案:37.在棱长为a的正方体oabc-o1a1b1c1中,e,f分别是ab,bc上的动点,且ae=bf,则直线a1f与直线c1e的位置关系是(填:平行或垂直或不确定).答案:垂直8.若ab=cd+ce(,r),则直线ab与平面cde的位置关系是.解析:ab=cd+ce(,r),ab与cd,ce共面.ab平面cde或ab平面cde.答案:ab平面cde或ab平面cde9.已知ab=(1,5,-2),bc=(3,1,z),若abbc,bp=(x-1,y,-3),且bp平面abc,则bp= .解析:abbcabbc=13+51-2z=0,所以z=4.因为bp平面abc,所以bpab,bpbc.所以bpab=x-1+5y+6=0,bpbc=3(x-1)+y-12=0,解得x=407,y=-157,所以bp=337,-157,-3.答案:337,-157,-310.如图所示,在直三棱柱abc-a1b1c1中,ac=3,bc=4,ab=5,aa1=4,点d是ab的中点.求证:(1)acbc1;(2)ac1平面cdb1.证明直三棱柱abc-a1b1c1的底面的三边长ac=3,bc=4,ab=5,acbc,ac,bc,c1c两两垂直.如图所示,以c为坐标原点,直线ca,cb,cc1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则c(0,0,0),a(3,0,0),c1(0,0,4),b(0,4,0),b1(0,4,4),d32,2,0.(1)ac=(-3,0,0),bc1=(0,-4,4),acbc1=0,acbc1,acbc1.(2)如图,设cb1与c1b的交点为e,连接de,则e(0,2,2),de=-32,0,2,ac1=(-3,0,4),de=12ac1,deac1,deac1.de平面cdb1,ac1平面cdb1,ac1平面cdb1.11.如图所示,正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直,ceac,efac,ab=2,ce=ef=1.求证:(1)af平面bde;(2)cf平面bde.证明(1)如图所示,设ac与bd交于点g,连接eg.因为efag,且ef=1,ag=12ac=1,所以四边形agef为平行四边形,所以afeg.因为eg平面bde,af平面bde,所以af平面bde.(2)因为正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直,且ceac,所以ce平面abcd.如图所示,以c为坐标原点,直线cd,cb,ce分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则c(0,0,0),a(2,2,0),b(0,2,0),d(2,0,0),e(0,0,1),f22,22,1.所以cf=22,22,1,be=(0,-2,1),de=(-2,0,1).所以cfbe=0-1+1=0,cfde=-1+0+1=0.所以cfbe,cfde.又因为bede=e,所以cf平面bde.12.如图所示,四棱锥s-abcd的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,p为侧棱sd上的一点.若sd平面pac,问:侧棱sc上是否存在一点e,使得be平面pac?若存在,求seec的值;若不存在,试说明理由.解如图所示,连接bd,交ac于点o,连接so,由题意知so平面abcd.以o为坐标原点,直线ob,oc,os分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设底面正方形的边长为a,则高so=62a,所以c0,22a,0,b22a,0,0,s0,0,62a,d-22a,0,0,则ds=22a,0,62a,cs=0,-22a,62a,bc=-22a,22a,0.假设在棱sc上存在一点e,使be平面pac.由题意,知ds是平面pac的一个法向量.设ce=tcs,则be=bc+c