南京二模数学.DOC

南京市高三数学试卷第页(共6页)南京市2010届高三第三次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)20105一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 设集合Ax|x22x0，xR，则集合AZ中有_个元素2. 某城市有大学20所，中学200所，小学480所现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为_3. 设复数abi(a，bR，i是虚数单位)，则ab的值是_4. 下图给出了一个算法的流程图，若输入a1，b2，c0，则输出的结果是_(第4题)5. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外壳完全相同现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为6的概率是_6. 函数ysinx(x)的值域是_7. 已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是_8. 如果log2xlog2y1，则x2y的最小值是_9. 已知a、b都是单位向量，ab，则|ab|_.10. 在直角坐标系xOy中，双曲线x21的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程是_11. 设直线y3xb是曲线yx33x2的一条切线，则实数b的值是_(第12题)12. 如图，平面四边形ABCD中，A60，ADCD，DBBC，AB2，BD4，则CD_.13. 对函数f(x)xsinx，现有下列命题： 函数f(x)是偶函数； 函数f(x)的最小正周期是2； 点(，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心； 函数f(x)在区间0，上单调递增，在区间，0上单调递减其中是真命题的是_(写出所有真命题的序号)14. 正整数按下列方法分组：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：03,13，13,23，23,33，33,43，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则AnBn_.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本题满分14分)已知A为锐角，sinA，tan(AB)，求cos2A及tanB的值16. (本题满分14分)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是梯形，ADBC，ACCD，E是AA1上的一点(1) 求证：CD平面ACE；(2) 若平面CBE交DD1于点F，求证：EFAD.(本题满分14分)某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元(1) 分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；(2) 该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？18. (本题满分16分)在直角坐标系xOy中，椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点椭圆上的点P在第一象限，PF1PF2.O的方程为x2y24.(1) 求点P坐标，并判断直线PF2与O的位置关系；(2) 是否存在不同于点A的定点B，对于O上任意一点M，都有为常数？若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由19. (本题满分16分)在数列an中，a11，anan13n.设bnan3n.(1) 求证：数列bn是等比数列；(2) 求数列an的前n项的和；(3) 设T2n，求证：T2n3.20. (本题满分16分)已知函数f(x)mx3，g(x)x22xm.(1) 求证：函数f(x)g(x)必有零点；(2) 设函数G(x)f(x)g(x)1. 若|G(x)|在1,0上是减函数，求实数m的取值范围； 是否存在整数a、b，使得aG(x)b的解集恰好是a，b？若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由.南京市高三数学附加题试卷第页(共2页)南京市2010届高三第三次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)解答题：本大题满分40分，14题为选做题，每题10分，考生只需选做其中2题，多选做的按前两题计分，56题为必做题，每题10分1. (几何证明选讲选做题)已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1) 求证：A、M、O、P四点共圆；(2) 求OAMAPM的大小2. (矩阵与变换选做题)如果曲线x24xy3y21在矩阵的作用下变换得到曲线x2y21，求ab的值3. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，O为极点，已知两点M、N的极坐标分别为(4，)，(，)求OMN的面积4. (不等式选讲选做题)求函数f(x)34的最大值5. 如图，正四棱锥PABCD中，AB2，PA，AC、BD相交于点O.求：(1) 直线BD与直线PC所成的角；(2) 平面PAC与平面PBC所成的角6. 某校校运会期间，来自甲、乙两个班级共计6名学生志愿者随机平均分配到后勤组、保洁组、检录组，并且后勤组至少有一名甲班志愿者的概率为.(1) 求6名志愿者中来自甲、乙两个班级的学生各有几人；(2) 设在后勤组的甲班志愿者的人数为X，求随机变量X的概率分布列及数学期望E(X)南京市高三数学参考答案第页(共4页)南京市2010届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 32. 203. 14. 25. 6. ，17. 28. 49. 10. y22x11. 112. 13. 14. 2n315. 解：因为sinA，所以cos2A12sin2A(3分)1.(6分)(方法一)因为A为锐角，所以cosA.所以tanA.(8分)因为tan(AB)，所以tanBtanA(AB)(10分)(12分)2.(14分)(方法二)因为A为锐角，所以cosA.所以tanA.(8分)因为tan(AB)，所以.(12分)所以tanB2.(14分)16. 证明：(1) 因为ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以AA1平面ABCD.因为CD平面ABCD，所以AA1CD，即AECD.(3分)因为ACCD，AE平面AEC，AC平面AEC，AEACA，所以CD平面AEC.(7分)(2) 因为ADBC，AD平面ADD1A1，BC平面ADD1A1，所以BC平面ADD1A1.(9分)因为BC平面BCE，平面BCE平面ADD1A1EF，所以EFBC.(12分)因为ADBC，所以EFAD.(14分)17. 解：(1) 根据题意，当x18时，茶壶的价格为44元/个则y1(4分)y260x，xN*.(8分)(2) yy1y2当x10时，yy1y20，即y1y2；(10分)当1x10时，yy1y22x(x10)0，即y1y2；(12分)当10x18时，yy1y22x(x10)0，即y1y2；当x18时，yy1y216x0，即y1y2.答：当购买的茶壶数为10个时，到甲、乙两家茶具店花费一样多；当购买的茶壶数小于10个时，到乙茶具店购买花费较少；当购买的茶壶数大于10个时，到甲茶具店购买花费较少(14分)18. 解：(1) 方法一：设点P的坐标为(x，y)(x0，y0)则1.因为F1(，0)，F2(，0)，PF1PF2，所以x2y25(2分)由联立方程组解得x，y，(4分)所以点P的坐标为(，)(5分)所以直线PF2的方程为2xy20.(7分)因为O的方程为x2y24，所以圆心O(0,0)到直线PF2的距离为d2.(9分)所以PF2与O相切(10分)方法二：设点P的坐标为(x，y)(x0，y0)因为PF1PF2，c，所以PFPF4c220.(2分)因为PF1PF22a6，所以PF1PF28.因为2cyPF1PF2，所以2y8.所以y，x.(4分)所以点P的坐标为(，)(5分)所以PF2的方程为2xy20.(7分)因为O的方程为x2y24，所以圆心O(0,0)到直线PF2的距离为d2.(9分)所以PF2与O相切(10分)(2) 设点M的坐标为(x，y)，则x2y24.假设存在点B(m，n)，对于O上任意一点M，都有为常数则MB2(xm)2(yn)2，MA2(x3)2y2，所以(常数)恒成立(12分)可得(62m)x2ny13m2n240，所以解得或(15分)所以存在满足条件的点B，它的坐标为(，0)(16分)19. (1) 证明：由anan13n，得an13n1(an3n)即bn1bn，b1a1.所以数列bn是首项为，公比为1的等比数列(5分)(2) 解：由bn(1)n1，得an3n(1)n1，an3n(1)n13n(1)n1(7分)Sna1a2a3an332333n(1)0(1)1(1)2(1)n1(10分)(3) 证明：T2n4()4()()4()()，因为32n132n1(nN*)，所以(nN*)所以.所以T2n8()83(1)3.(16分)20. (1) 证明：f(x)g(x)x2(m2)x3m，令f(x)g(x)0.则(m2)24(m3)m28m16(m4)20恒成立所以方程f(x)g(x)0有解所以函数f(x)g(x)必有零点(6分)(2) 解：(方法一)G(x)f(x)g(x)1x2(m2)x2m. 令G(x)0，则(m2)24(m2)(m2)(m6)当0，即2m6时，G(x)x2(m2)x2m0恒成立，所以|G(x)|x2(m2)xm2.因为|G(x)|在1,0上是减函数，所以0，解得m2.所以2m6.(8分)当0，即m2或m6时，|G(x)|x2(m2)xm2|.因为|G(x)|在1,0上是减函数，所以方程x2(m2)xm20的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且x1.所以或(9分)解得m2或m0.所以m0或m6.(10分)综上可得，实数m的取值范围为(，02，)(11分)(方法二)G(x)f(x)g(x)1x2(m2)x2m.因为函数|G(x)|在1,0上是减函数，所以或(9分)即或解得m0或m2.所以实数m的取值范围为(，02，)(11分) 因为aG(x)b的解集恰好是a，b，所以由消去m，得ab2ab0，显然b2.所以a1.(14分)因为a、b均为整数，所以b21或b22.解得或或或(15分)因为ab，且ab，所以或(16分)南京市高三数学附加题参考答案第页(共2页)南京市2010届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准1. (1) 证明：连结OP、OM.因为AP是O的切线，所以APOP.因为M是BC的中点，所以OMAC.因为四边形AMOP中，APOP，OMAC，所以OPAOMA180.所以A、M、O、P四点共圆(5分)(2) 解：因为A、M、O、P四点共圆，所以OAMOPM.所以OAMAPMOPMAPMAPO.由(1)，知APOP，则APO90.所以OAMAPM90.(10分)2. 解：在曲线x24xy3y21上任取一点P(x，y)，设点P(x，y)在矩阵的作用下变换得到点P(x，y)则.所以，即(4分)则(xay)2(bxy)21.化简，得(1b2)x22(ab)xy(a21)y21.从而解得a2，b0.所以ab2.(10分)3. 解：SOMN4sin()(5分)2(sincoscossin)1.(10分)4. 解：由柯西不等式，得(34)2(3242)()2()2(5分)(3242)(2x)(2x)100.当且仅当34，即x时等号成立(8分)所以函数f(x)34的最大值为10.(10分)5. 解：(1) 因为四棱锥PABCD为正四棱锥，O为AC、BD交点，所以OP平面ABCD.因为AB2，所以OA.因为PA，所以OP2PA2OA2321.所以OP1.如图，以O为原点，AC、BD、OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A(，0,0)，B(0，0)，C(，0,0)，D(0，0)，P(0,0,1)则(，0，1)，(0，2，0)因为0，所以直线BD与直线PC所成的角为90.(5分)(2) 由(1)，知BDPC.又BDAC，PC平面PAC，AC平面PAC，PCACC，所以BD平面PAC.取平面PAC的一个法向量为(0，2，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，(，0)，由得不