第五课时　利用导数研究函数零点专题.doc

第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数零点个数4,6根据函数零点求参数1,3函数零点的综合应用2,51.导学号 94626128已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是(D)(A)(-,-2)(B)(-2,2)(C)(2,+)(D)(-2,0)(0,2)解析:很明显a0,由题意可得,f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).则由f(x)=0可得x1=0,x2=2a,要使函数存在三个零点,则函数的两个极值异号.由题意得不等式f(x1)f(x2)=8a2-12a2+11,a24,-2a2时,g(x)0;当x2时,g(x)2或x0,函数g(x)单调递增,当0x2时,g(x)0,函数g(x)单调递减,所以当x=2时,函数有极小值,g(2)=e24,且当x0时,f(x)(0,+),g(x)的图象如图所示,因为函数f(x)=exx-kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点,即y=k与y=g(x)只有一个交点,结合图象可得0k0时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)当a=0时,设函数g(x)=xf(x)-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间12,+上有两个零点,求实数k的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)的导数为f(x)=-ax+1+a-1x=-(ax-1)(x-1)x(a0),当a(0,1)时,1a1.由f(x)1a或x1.所以f(x)的单调递减区间为(0,1),(1a,+);当a=1时,恒有f(x)0,所以f(x)的单调递减区间为(0,+);当a(1,+)时,1a1.由f(x)1或x1a.所以f(x)的单调递减区间为(0,1a),(1,+).综上,当a(0,1)时,f(x)的单调递减区间为(0,1),(1a,+);当a=1时,f(x)的单调递减区间为(0,+);当a(1,+)时,f(x)的单调递减区间为(0,1a),(1,+).(2)g(x)=x2-xln x-k(x+2)+2在x12,+)上有零点,即关于x的方程k=x2-xlnx+2x+2在x12,+)上有两个不相等的实数根.令函数h(x)=x2-xlnx+2x+2,x12,+),则h(x)=x2+3x-2lnx-4(x+2)2,令函数p(x)=x2+3x-2ln x-4,x12,+).则p(x)=(2x-1)(x+2)x在12,+)上有p(x)0,故p(x)在12,+)上单调递增.因为p(1)=0,所以当x12,1)时,有p(x)0,即h(x)0即h(x)0,所以h(x)单调递增.因为h(12)=910+ln25,h(1)=1,h(10)=102-10ln1012102-1012=233h(12),所以k的取值范围为(1,910+ln25.5.导学号 94626131(2017辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点.(1)求b的值;(2)若1是其中一个零点,求f(2)的取值范围;(3)若a=1,g(x)=f(x)+3x2+ln x,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.解:(1)因为f(x)=-x3+ax2+bx+c,所以f(x)=-3x2+2ax+b.因为f(x)在(-,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,所以当x=0时,f(x)取到极小值,即f(0)=0.所以b=0.(2)由(1)知f(x)=-x3+ax2+c,因为1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0,所以c=1-a.因为f(x)=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0,x2=2a3,f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点,所以x2=2a31,解得a32,所以f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7-52,所以f(2)的取值范围是(-52,+).(3)g(x)=2x+ln x,设过点(2,5)的曲线g(x)的切线的切点坐标为(x0,y0),所以y0-5=g(x0)(x0-2),即2x0+ln x0-5=(2+1x0)(x0-2),所以ln x0+2x0-2=0,令h(x)=ln x+2x-2,令h(x)=1x-2x2=0,所以x=2,所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,因为h(12)=2-ln 20,h(2)=ln 2-10(或h(1)=0,h(2)=ln 2-10).所以h(x)与x轴有两个交点,所以过点(2,5)可作2条直线与曲线y=g(x)相切.6.导学号 94626132已知e是自然对数的底数,f(x)=mex,g(x)=x+3,(x)=f(x)+g(x),h(x)=f(x)-g(x-2)-2 017.(1)设m=1,求h(x)的极值;(2)设m-e2,求证:函数(x)没有零点.(1)解:因为f(x)=mex,g(x)=x+3,m=1,所以f(x)=ex,g(x-2)=x+1,所以h(x)=f(x)-g(x-2)-2 017=ex-x-2 018.所以h(x)=ex-1,由h(x)=0得x=0.因为e是自然对数的底数,所以h(x)=ex-1是增函数.所以当x0时,h(x)0时,h(x)0,即h(x)是增函数.所以函数h(x)没有极大值,只有极小值,且当x=0时,h(x)取得极小值.所以h(x)的极小值为h(0)=-2 017.(2)证明:因为f(x)=mex,g(x)=x+3,所以(x)=f(x)+g(x)=mex+x+3,所以(x)=mex+1.因为m-e20,此时函数(x)是增函数,当x(ln(