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文档简介

空间向量与立体几何 2 1从平面向量到空间向量 学习目标 1 了解空间向量的概念 2 经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程 3 了解空间中直线的方向向量 平面的法向量 共面向量与不共面向量的概念 1 空间向量 1 在空间中 既有 又有 的量 叫作空间向量 预习导引 2 向量用 表示 如 a b 也可用大写字母表示 如 其中 叫作向量的起点 叫作向量的终点 大小 方向 小写字母 a b 导 思 3 数学中所讨论的向量与向量的 无关 称之为自由向量 4 与平面向量一样 空间向量的大小也叫作向量的长度或模 用 或 表示 5 向量夹角的定义 如图所示 两非零向量a b 在空间中任取点o 作 a b 则 叫作向量a b的夹角 记作 起点 a aob a b 6 向量夹角的范围 规定 7 特殊角 当 a b 时 向量a与b 记作 当 a b 0或 时 向量a与b 记作 0 a b 垂直 a b 平行 a b 2 向量 直线 平面 1 所谓直线的方向向量是指和这条直线 或 的向量 一条直线的方向向量有 个 2 如果直线l垂直于平面 那么把直线l的 叫作平面 的法向量 平面 有 个法向量 平面 的所有法向量都 平行 重合 无数 方向向量 无数 平行 3 空间中 若一个向量所在直线 一个平面 则称这个向量平行于该平面 4 把 的一组向量称作共面向量 的一组向量称为不共面向量 5 平行于一个平面的向量 该平面的法向量 平行于 平行于同一平面 不平行于同一个平面 垂直 例1给出下列命题 若空间向量a b 满足 a b 则a b 在正方体abcd a1b1c1d1中 必有 若空间向量m n p满足m n n p 则m p 空间中任意两个单位向量必相等 其中不正确的命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 b 议 展 例2如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 分别给出直线aa1 bd的一个方向向量 2 分别给出平面add1a1 平面bb1d1d的一个法向量 评 1 两个非零向量的模相等是两个向量相等的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析a b a b a b a b b 1 2 3 4 检 2 空间中 起点相同的所有单位向量的终点构成的图形是 a 圆b 球c 正方形d 球面 答案 d 解析 根据模的概念知终点在以起点为球心 半径为1的球面上 3 如图所示 直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 在所有棱所在的向量中 平面bb1c1c的法向量有 a 0个b 2个c 3个d 4个 答案 d 空间两向量的夹角 1 计算步骤 一作 二证 三算 2 作法 平移法 在一向量所在直线上选取 特殊点 作另一向量所在直线的平行线 常常利用中位线或成比例线段引平行线 补形法 把空间图形补成熟悉
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