北师大版选修11 第四章2.1 实际问题中导数的意义 课件（30张）.ppt

2导数在实际问题中的应用2 1实际问题中导数的意义 第四章导数应用 学习导航 第四章导数应用 1 功与功率在物理学中 通常称力在单位时间内做的功为功率 它是 的导数 2 降雨强度在气象学中 通常把单位时间内的降雨量称为降雨强度 它是 的导数 功w对时间t 降雨量对时间 3 边际成本在经济学中 通常把生产成本y关于产量x的函数y f x 的导函数称为边际成本 4 瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 它是 的导数 速度对时间的导数是 5 线密度单位长度的物体质量称为线密度 它是 的导数 位移s对时间t 加速度 质量关于长度 6 把实际问题抽象为数学问题 逐步把数学知识应用到生产 生活的实际中去 形成应用数学的意识 培养分析问题 解决问题的能力 处理这类问题 通常分为三步 阅读理解 即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景 领悟其中的数学本质 弄清题中出现的量及其数学含义 根据各个量的关系 进行数学化设计 即建立目标函数 将实际问题转化为数学问题 进行标准化设计 即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决 7 解应用题首先要在阅读材料 理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题 就是从实际问题出发 抽象概括 利用数学知识建立相应的数学模型 再利用数学知识对数学模型进行分析 研究 得到数学结论 然后再把数学结论返回到实际问题中去 其思路如图所示 审题 阅读理解文字所表达的含义 分清条件和结论 找出问题中各量之间的关系 建模 将文字语言转化成数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 解模 把数学问题化归为常规问题 选择合适的数学方法求解 对结果进行验证评估 定性 定量分析 作出正确的判断 确定其答案 1 一个物体的运动方程为s 1 t t2 其中s的单位是米 t的单位是秒 那么该物体在3秒末的瞬时速度是 a 7米 秒b 6米 秒c 5米 秒d 8米 秒解析 s 1 2t 则s 3 5 即该物体在3秒末的瞬时速度是5米 秒 c 2 一次降雨过程中 降雨量y是时间t的函数 用y f t 表示 则f 10 表示 a t 10时的降雨强度b t 10时的降雨量c t 10时的时间d t 10时的温度解析 f t 表示t时刻的降雨强度 a 3 某公司的盈利y 元 和时间x 天 的函数关系是y f x 假设f x 0恒成立 且f 10 10 f 20 1 则这些数据说明第20天与第10天比较 a 公司已经亏损b 公司的盈利在增加 增加的幅度变大c 公司在亏损且亏损幅度变小d 公司的盈利在增加 但增加的幅度变小解析 导数为正说明盈利是增加的 导数变小说明增加的幅度变小了 但还是增加的 d 导数在物理中的应用 某质点的运动方程为s 2t2 3t 其中s是位移 单位 m t是时间 单位 s 1 求t从1s变到3s时 位移s关于时间t的平均变化率 并解释它的实际意义 2 求s 1 s 2 并解释它们的实际意义 链接教材第四章2 1例1 1 电流通过一导线 从0时刻到t时刻通过该导线横断面的电荷量q与t有如下的函数关系 q 4t2 t 1 q的单位 c t的单位 s 求t 3时的瞬时电流 解 q 4t2 t 1 q t 8t 1 t 3时 q 3 8 3 1 25 a 导数在日常生活中的应用 方法归纳 1 要理解导数的实际意义 首先必须正确理解函数表达式的实际意义 2 导数的实际意义与变量表示的实际含义有关 同一个函数表达式 其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同 导数在产量与成本中的应用 方法归纳导数在经济生活中应用时 要准确理解一些常用经济学概念 如成本 利润 销售量等 才能正确解释其导数的实际意义 在高台跳水运动中 ts时运动员相对于水面的高度是h t 4 9t2 6 5t 10 单位 m 求高台跳水运动中运动员在t 1s时的瞬时速度 并解释此时的运动状况 解 h t 9 8t 6 5 h 1 3 3 故运动员在t 1s时的瞬时速度是 3 3m s 此时运动员向下以3 3米 秒的速度运动 错因与防范 1 对该问题求得当t 1s时的瞬时速度为 3 3m s 但由于对其中的 负 号物理意义理解不明 易回答为正值而出错 2 瞬时速度既有大小也有方向 如果是负值 不能回答为正值 它表明了运动速度的大小和方向 3 利用导数解决物理问题 关键是要熟悉相关的物理概念 公式 并联系导数的物理意义进行求解 3 一杯80 的热红茶置于20 的房间里 它的温度会逐渐下降 温度t 单位 与时间t 单位 min 之间的关系由函数t f t 给出 请问 1 f t 的符号是什么 为什么 2 f 3 4的实际意义是什么 解 1 由题意可知f t 0 所以f t 为负数 因为红茶温度在下降 2 f 3 4的实际意义是 t 3min时 温度的瞬时变化率为 4 min 即3min附近时 红茶约以4 min的速度下降 如图 某工厂拟建一座平面图为矩形 且面积为200m2的三级污水处理池 由于地形限制 长 宽都不能超过16m 如果池外周壁建造单价为每米400元 中间两条隔墙建造单价为每米248元 池底建造单价为每平方米80元 池壁厚度忽略不计 且池无盖 1 写出总造价y 元 与污水处理池长x m 的函数关系式 并