北师大版选修11 第二章 2.2　抛物线的简单性质 课件（38张）.pptx

第1课时抛物线的简单性质 第二章2 2抛物线的简单性质 学习目标1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等简单性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一抛物线的简单性质 思考类比椭圆的简单性质 结合图像 你能说出抛物线y2 2px p 0 中x的范围 对称性 顶点坐标吗 答案范围x 0 关于x轴对称 顶点坐标 0 0 梳理 0 0 1 2p 知识点二焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为a x1 y1 b x2 y2 则 思考辨析判断正误 1 抛物线有一个顶点 一个焦点 一条对称轴 一条准线 一条通径 2 当抛物线的顶点在坐标原点时 其方程是标准方程 3 抛物线的离心率均为1 所以抛物线形状都相同 4 焦准距p决定抛物线的张口大小 即决定抛物线的形状 题型探究 类型一抛物线简单性质的应用 解答 例1已知抛物线的焦点f在x轴上 直线l过f且垂直于x轴 l与抛物线交于a b两点 o为坐标原点 若 oab的面积等于4 求此抛物线的标准方程 解由题意 设抛物线方程为y2 2mx m 0 所以 ab 2 m 因为 oab的面积为4 引申探究等腰直角三角形aob内接于抛物线y2 2px p 0 o为抛物线的顶点 oa ob 则 aob的面积是 4p2 解析 答案 解析因为抛物线的对称轴为x轴 内接 aob为等腰直角三角形 所以由抛物线的对称性知 直线ab与抛物线的对称轴垂直 从而直线oa与x轴的夹角为45 所以易得a b两点的坐标分别为 2p 2p 和 2p 2p 反思与感悟把握三个要点确定抛物线简单性质 1 开口 由抛物线标准方程看图像开口 关键是明确二次项是x还是y 一次项的系数是正还是负 2 关系 顶点位于焦点与准线中间 准线垂直于对称轴 3 定值 焦点到准线的距离为p 过焦点垂直于对称轴的弦 又称为通径 长为2p 离心率恒等于1 跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 其上一点p到准线及对称轴的距离分别为10和6 求抛物线的方程 解答 解设抛物线的方程为y2 2ax a 0 点p x0 y0 因为点p到对称轴的距离为6 所以y0 6 因为点p到准线的距离为10 因为点p在抛物线上 所以36 2ax0 所以所求抛物线的方程为y2 4x或y2 36x 类型二抛物线的焦点弦问题 例2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 若直线l的倾斜角为60 求 ab 的值 解答 解因为直线l的倾斜角为60 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 5 引申探究1 若本例中 直线l的倾斜角为60 改为 直线l垂直于x轴 求 ab 的值 解答 所以 ab 3 3 6 解设a x1 y1 b x2 y2 由抛物线的定义知 ab af bf x1 x2 p x1 x2 3 所以x1 x2 6 于是线段ab的中点m的横坐标是3 2 若本例中 直线l的倾斜角为60 改为 ab 9 求线段ab的中点m到准线的距离 解答 反思与感悟1 解决抛物线的焦点弦问题时 要注意抛物线定义在其中的应用 通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题 从而可借助根与系数的关系进行求解 2 设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论 跟踪训练2已知抛物线方程为y2 2px p 0 过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于a b两点 且 ab p 求ab所在直线的方程 解答 设a x1 y1 b x2 y2 故直线ab的斜率存在 设为k 解得k 2 类型三与抛物线有关的最值问题 例3设p是抛物线y2 4x上的一个动点 f为抛物线的焦点 1 求点p到点a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值 解答 解如图 易知抛物线的焦点为f 1 0 准线方程是x 1 由抛物线的定义知 点p到直线x 1的距离等于点p到焦点f的距离 于是问题转化为在曲线上求一点p 使点p到点a 1 1 的距离与点p到f 1 0 的距离之和最小 显然 连接af af与抛物线的交点即为点p 2 若点b的坐标为 3 2 求 pb pf 的最小值 解答 解如图 过点b作bq垂直于准线 垂足为点q 交抛物线于点p1 连接p1f 此时 由抛物线的定义知 p1q p1f 所以 pb pf p1b p1q bq 3 1 4 即 pb pf 的最小值为4 反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用 就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化 另外要注意平面几何知识的应用 如两点之间线段最短 三角形中三边间的不等关系 点与直线上点的连线垂线段最短等 跟踪训练3已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点a 0 2 的距离与点p到该抛物线的准线的距离之和的最小值为 答案 解析 解析如图 由抛物线的定义知 pa pq pa pf 则所求距离之和的最小值转化为求 pa pf 的最小值 则当a p f三点共线时 pa pf 取得最小值 达标检测 1 以x轴为对称轴的抛物线的通径 过焦点且与对称轴垂直的弦 长为8 若抛物线的顶点在坐标原点 则其方程为a y2 8xb y2 8xc y2 8x或y2 8xd x2 8y或x2 8y 答案 解析 1 2 3 4 5 解析设抛物线的方程为y2 2px或y2 2px p 0 2 y 2p 8 p 4 即抛物线方程为y2 8x 2 设抛物线y2 8x上一点p到y轴的距离是4 则点p到该抛物线焦点的距离是a 4b 6c 8d 12 1 2 3 4 5 答案 解析 解析由抛物线的定义可知 点p到抛物线焦点的距离是4 2 6 3 已知抛物线y ax2的准线方程是y 2 则此抛物线上的点到准线距离的最小值为a 1b 2c 3d 4 1 2 3 4 5 答案 解析 解析由题意知抛物线顶点到准线的距离最短 故最小值为2 4 过抛物线y2 8x的焦点作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为 1 2 3 4 5 答案 解析 16 解析由y2 8x得焦点坐标为 2 0 由此直线方程为y x 2 设交点为a x1 y1 b x2 y2 由方程知x1 x2 12 弦长 ab x1 x2 p 12 4 16 5 已知正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个正三角形的