北师大版必修一 §5 简单的幂函数(一) 课件（35张）.pptx

5简单的幂函数 一 第二章函数 学习目标1 理解幂函数的概念 2 学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法 3 理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征 能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一幂函数的概念 答案底数为x 指数为常数 答案 梳理 如果一个函数底数是自变量x 指数是常量 即y x 这样的函数称为幂函数 思考 知识点二幂函数的图像与性质 如图在同一坐标系内作出函数 1 y x 2 3 y x2 4 y x 1 5 y x3的图像 填写下表 0 0 0 x x 0 y y 0 减少 减少 增 增 增加 减少 r r r r r 梳理 根据上表 可以归纳一般幂函数特征 1 所有的幂函数在 0 上都有定义 并且图像都过点 2 0时 幂函数的图像通过 并且在区间 0 上是函数 特别地 当 1时 幂函数的图像下凸 当01 它同各幂函数图像相交 按交点从下到上的顺序 幂指数按从到的顺序排列 1 1 原点 增 0 小 大 题型探究 解答 类型一幂函数的概念 例1已知y m2 2m 2 2n 3是幂函数 求m n的值 只有满足函数解析式右边的系数为1 底数为自变量x 指数为常量这三个条件 才是幂函数 如 y 3x2 y 2x 3 y 都不是幂函数 反思与感悟 跟踪训练1在函数y y 2x2 y x2 x y 1中 幂函数的个数为a 0b 1c 2d 3 解析因为y x 2 所以是幂函数 y 2x2由于出现系数2 因此不是幂函数 y x2 x是两项和的形式 不是幂函数 y 1 x0 x 0 可以看出 常函数y 1的图像比幂函数y x0的图像多了一个点 0 1 所以常函数y 1不是幂函数 答案 解析 解答 类型二幂函数的图像及应用 例2若点 2 2 在幂函数f x 的图像上 点 2 14 在幂函数g x 的图像上 问当x为何值时 1 f x g x 2 f x g x 3 f x g x 解设f x x 因为点 2 2 在幂函数f x 的图像上 所以将点 2 2 代入f x x 中 得2 2 解得 2 则f x x2 同理可求得g x x 2 在同一坐标系内作出函数f x x2和g x x 2的图像 如图所示 观察图像可得 1 当x 1或xg x 2 当x 1或x 1时 f x g x 3 当 1 x 1且x 0时 f x g x 幂函数由于指数 的不同 它们的定义域也不同 性质也不同 幂函数的图像主要分01和 0三种情况讨论 反思与感悟 跟踪训练2幂函数y x 0 当 取不同的正数时 在区间 0 1 上它们的图像是一簇美丽的曲线 如图 设点a 1 0 b 0 1 连接ab 线段ab恰好被其中的两个幂函数y x y x 的图像三等分 即有bm mn na 那么 等于a 1b 2c 3d 无法确定 答案 解析 解答 类型三幂函数性质 命题角度1探讨幂函数性质 例3探讨函数f x 的单调性 解f x 的定义域为 0 任取x1 x2 0 且x1 x2 因为x2 x1 0 所以x1 x2 0 于是f x2 f x1 0 即f x2 f x1 所以f x 在区间 0 内是减函数 研究函数单调性要先研究函数定义域 幂函数的定义域主要受两个因素影响 偶次根式被开方数不小于零 分式的分母不为零 反思与感悟 跟踪训练3已知幂函数f x m n 试确定该函数的定义域 并指明该函数在其定义域上的单调性 解 m n m2 m m m 1 为偶数 解答 f x 的定义域为 0 在 0 上为增函数 命题角度2应用幂函数性质 例4 1 比较 的大小 解 在 0 上是增函数 27 25 即 解答 2 若 a 1 3 2a 则a的取值范围是 解析由 1 知f x x在区间 0 内是减函数 解析 答案 应用幂函数性质比大小解不等式 首先是根据研究目标的特征构造幂函数 其次是根据所构造的幂函数性质如定义域 单调性来解决问题 反思与感悟 跟踪训练4 1 比较 的大小 解 在r上为增函数 即 解答 由 1 知f x 在定义域 0 上为增函数 f 2 a f a 1 等价于2 a a 1 0 解答 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 答案 答案 2 3 4 5 1 4 下列是的图像的是 2 3 4 5 1 答案 5 以下结论正确的是a 当 0时 函数y x 的图像是一条直线b 幂函数的图像都经过 0 0 1 1 两点c 若幂函数y x 的图像关于原点对称 则y x 在定义域内y随x的增大而增大d 幂函数的图像不可能在第四象限 但可能在第二象限 2 3 4 5 1 答案 规律与方法 1 幂函数y x r 其中 为常数 其本质特征是以幂的底x为自变量 指数 为常数 这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准 2 幂函数y x 的图像与性质由于 的值不同而比较复杂 一般从两个方面考查 1 0时 图像过 0 0 1