人教A版必修2 第四章 4.1.2圆的一般方程 学案.docx

4.1.2圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程知识点圆的一般方程思考方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什么图形？答案对方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24，表示以(1，2)为圆心，2为半径的圆，对方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，不表示任何图形梳理方程条件图形x2y2dxeyf0d2e24f0表示以为圆心，以为半径的圆1圆的一般方程可以化为圆的标准方程()2二元二次方程x2y2dxeyf0一定是某个圆的方程()3若方程x2y22xey10表示圆，则e0.()类型一圆的一般方程的理解例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径解由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解得m0成立，则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2dxeyf0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解跟踪训练1(1)已知ar，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案(2，4)5解析由圆的一般方程的形式知，a2a2，得a2或1.当a2时，该方程可化为x2y2x2y0，d2e24f122240，a2不符合题意当a1时，方程可化为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，圆心坐标为(2，4)，半径为5.(2)若点m，n在圆x2y2kx2y40上，且点m，n关于直线xy10对称，则该圆的面积为_考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案9解析圆x2y2kx2y40的圆心坐标为，由圆的性质知，直线xy10经过圆心，110，得k4，圆x2y24x2y40的半径为3，该圆的面积为9.类型二求圆的一般方程例2已知a(2，2)，b(5，3)，c(3，1)(1)求abc的外接圆的方程；(2)若点m(a，2)在abc的外接圆上，求a的值考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解(1)设abc外接圆的方程为x2y2dxeyf0，由题意，得解得即abc的外接圆的方程为x2y28x2y120.(2)由(1)知，abc的外接圆的方程为x2y28x2y120，点m(a，2)在abc的外接圆上，a2228a22120，即a28a120，解得a2或6.引申探究若本例中将“点c(3，1)”改为“圆c过a，b两点且圆c关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆c的方程？解kab，ab的中点坐标为，ab的垂直平分线方程为y3.联立得即圆心c的坐标为，r ，圆c的方程为22.反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数d，e，f.跟踪训练2已知一圆过p(4，2)，q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解方法一(待定系数法)设圆的方程为x2y2dxeyf0，将p，q的坐标分别代入上式，得令x0，得y2eyf0， 由已知得|y1y2|4，其中y1，y2是方程的根，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2e24f48. 联立解得或故圆的方程为x2y22x120或x2y210x8y40.方法二(几何法)由题意得线段pq的垂直平分线方程为xy10，所求圆的圆心c在直线xy10上，设其坐标为(a，a1)又圆c的半径长r|cp|.(*)由已知得圆c截y轴所得的线段长为4，而圆心c到y轴的距离为|a|，r2a22，代入(*)式整理得a26a50，解得a11，a25，r1，r2.故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.类型三与圆有关的轨迹方程例3已知圆心为c的圆经过点a(1，1)和b(2，2)，且圆心c在直线l：xy10上(1)求圆c的方程；(2)线段pq的端点p的坐标是(5，0)，端点q在圆c上运动，求线段pq的中点m的轨迹方程考点与圆有关的轨迹问题题点求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题解(1)设点d为线段ab的中点，直线m为线段ab的垂直平分线，则d.又kab3，所以km，所以直线m的方程为x3y30.由得圆心c(3，2)，则半径r|ca|5，所以圆c的方程为(x3)2(y2)225.(2)设点m(x，y)，q(x0，y0)因为点p的坐标为(5，0)，所以即又点q(x0，y0)在圆c：(x3)2(y2)225上运动，所以(x03)2(y02)225，即(2x53)2(2y2)225.整理得(x1)2(y1)2.即所求线段pq的中点m的轨迹方程为(x1)2(y1)2.反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程(3)代入法：若动点p(x，y)依赖于某圆上的一个动点q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将q点的坐标代入到已知圆的方程中，得p点的轨迹方程特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点跟踪训练3等腰三角形的顶点是a(4，2)，底边一个端点是b(3，5)，求另一个端点c的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？考点与圆有关的轨迹问题题点求三角形顶点的轨迹方程解设另一端点c的坐标为(x，y)依题意，得|ac|ab|.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210，这是以点a(4，2)为圆心，以为半径的圆，又因为a，b，c为三角形的三个顶点，所以a，b，c三点不共线，即点b，c不能重合，且b，c不能为圆a的一条直径的两个端点因为b，c不能重合，所以点c不能为(3，5)又因为b，c不能为一条直径的两个端点，所以4，且2，即点c不能为(5，1)故端点c的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3，5)和(5，1)，它的轨迹是以点a(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，1)两点.1圆x2y22x6y80的面积为()a8 b4c2 d考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案c解析原方程可化为(x1)2(y3)22，半径r，圆的面积为sr22.2若点m(3，0)是圆x2y28x4y100内一点，则过点m(3，0)的最长的弦所在的直线方程是()axy30 bxy30c2xy60 d2xy60考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案c解析圆x2y28x4y100的圆心坐标为(4，2)，则过点m(3，0)且过圆心(4，2)的弦最长由k2，可知c正确3若方程x2y2axy4y10表示圆，则a等于()a1 b0c1 d2考点圆的一般方程题点二元二次方程表示圆的条件答案b4若方程x2y22axbyc0表示圆心为c(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()a2，4，4 b2，4，4c2，4，4 d2，4，4考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案a解析由方程得圆心坐标为，半径为r .由已知，得a2，2，2，解得a2，b4，c4.5.如图，已知线段ab的中点c的坐标是(4，3)，端点a在圆(x1)2y24上运动，求线段ab的端点b的轨迹方程考点与圆有关的轨迹问题题点有关点的轨迹的其他问题解设b点坐标是(x，y)，点a的坐标是(x0，y0)，由于点c的坐标是(4，3)且点c是线段ab的中点，所以4，3，于是有x08x ，y06y.因为点a在圆(x1)2y24上运动，所以点a的坐标满足方程(x1)2y24，即(x01)2y4，把代入，得(8x1)2(6y)24，整理，得(x9)2(y6)24.所以点b的轨迹方程为(x9)2(y6)24.圆的一般方程x2y2dxeyf0是圆的另一种表示形式，其隐含着d2e24f0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质一、选择题1圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为()a2 b. c1 d.考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案d解析因为圆心坐标为(1，2)，所以圆心到直线xy1的距离为d.2方程x2y22ax2bya2b20表示的图形为()a以(a，b)为圆心的圆b以(a，b)为圆心的圆c点(a，b)d点(a，b)考点与圆有关的轨迹问题题点有关点的轨迹的其他问题答案d解析原方程可化为(xa)2(yb)20，即方程表示点(a，b)3当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点c，则以c为圆心，为半径的圆的方程为()ax2y22x4y0bx2y22x4y0cx2y22x4y0dx2y22x4y0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案c解析直线(a1)xya10可化为(xy1)a(1x)0，由得c(1，2)圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.4方程x2y2ax2ay2a23a0表示的图形是半径为r(r0)的圆，则该圆的圆心在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案d解析因为方程x2y2ax2ay2a23a0表示的图形是圆，又方程可化为2(ya)2a23a，故圆心坐标为，r2a23a.由r20，即a23a0，解得4a0，故该圆的圆心在第四象限5若点(1，1)在圆x2y2xym0外，则m的取值范围是()am0 bmc0m d0m考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案c解析x2y2xym0可化为22m，则m0，解得m.因为点(1，1)在圆外，所以1111m0，即m0，所以0m.故选c.6点p(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()a(x2)2(y1)21b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24d(x2)2(y1)21考点与圆有关的轨迹问题题点求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题答案a解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则解得代入xy4中，得(x2)2(y1)21.7已知三点a(1，0)，b(0，)，c(2，)，则abc外接圆的圆心到原点的距离为()a. b. c. d.考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案b解析设abc外接圆的方程为x2y2dxeyf0，由题意得解得d2，e，f1.即abc外接圆的方程为x2y22xy10.圆心坐标为，圆心到原点的距离为 .8已知圆c的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆c相切，则圆c的方程为()ax2y22x30bx2y24x0cx2y22x30dx2y24x0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案d解析设圆心c的坐标为(a，0)，a0，d2，a2，圆c的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.二、填空题9已知圆c：x2y22xay30(a为实数)上任意一点关于直线l：xy20的对称点都在圆c上，则a_.考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的对称问题答案2解析由题意知，直线l：xy20过圆心，则120，得a2.10如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案(0，1)解析因为r，所以当k0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2y22y0，即x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)11已知圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称图形，则ab的取值范围是_考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的对称问题答案(，1)解析由题意知，直线y2xb过圆心，而圆心坐标为(1，2)，代入直线方程，得b4，所以圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)25a，所以a5，由此得ab1.12已知点a(1，2)，b(4，0)，p(a，1)，n(a1，1)，当四边形pabn的周长最小时，过a，p，n三点的圆的圆心坐标为_考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题答案解析因为ab，pn的长为定值，所以只需求|pa|bn|的最小值因为|pa|bn|，其几何意义为动点(a，0)到两定点(1，3)和(3，1)的距离之和，所以当这三点共线，即a时，其和取得最小值此时，线段pn的中垂线x3，与线段pa的中垂线y的交点为，即所求圆的圆心坐标为.三、解答题13已知圆c：x2y2dxey30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用解圆心c的坐标为，因为圆心在直线xy10上，所以10，即de2.又r，所以d2e220.由可得或又圆心在第二象限，所以0，所以所以圆的一般方程为x2y22x4y30.四、探究与拓展14若曲线c：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()a(，2) b(，1)c(1，) d(2，)考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案d解析曲线c的方程可化为(xa)2(y2a)24，则曲线c表示的是以(a，2a)为圆心，2为半径的圆要使圆c上所有的点均在第二象限内，则圆心(a，2a)必须在第二象限，从而有a0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆c的半径易知圆心到两坐标轴的最短距离为|a|，则有|a|2，故a2.15已知方程