人教A版必修5 解三角形 章末分层突破 学案.doc

章末分层突破自我校对已知两角和其中一边c2a2b22abcos c已知三边sacsin b利用正、余弦定理求解三角形的基本问题解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，asin acsin casin cbsin b.(1)求角b的大小；(2)若a75，b2，求a，c.【精彩点拨】(1)用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系，然后利用余弦定理求解(2)先求角c，然后利用正弦定理求边a，c.【规范解答】(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos b，故cos b，因此b45.(2)sin asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故ab1.由已知得，c180457560，cb.再练一题1在abc中，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求a和tan b的值. 【解】由余弦定理cos a，因此a60.在abc中，c180ab120b.由已知条件，应用正弦定理，从而tan b.正、余弦定理的综合应用正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cos b，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(bc)的值【精彩点拨】(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解(2)由(1)结合正弦定理分别求出b，c的正、余弦值，利用差角余弦公理求解【规范解答】(1)由2得cacos b2.又cos b，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos b.又b3，所以a2c292613.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在abc中，sin b，由正弦定理，得sin csin b.因为abc，所以c为锐角，因此cos c.于是cos(bc)cos bcos csin bsin c.再练一题2如图11，在abc中，b，ab8，点d在bc边上，且cd2，cosadc.(1)求sinbad；(2)求bd，ac的长图11【解】(1)在adc中，因为cosadc，所以sinadc.所以sinbadsin(adcb)sinadc cos bcosadc sin b.(2)在abd中，由正弦定理得bd3.在abc中，由余弦定理得ac2ab2bc22abbccos b825228549.所以ac7.正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求图12如图12所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点a、b、c.景区管委会开发了风景优美的景点d.经测量景点d位于景点a的北偏东30方向上8 km处，位于景点b的正北方向，还位于景点c的北偏西75方向上已知ab5 km.(1)景区管委会准备由景点d向景点b修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点c与景点d之间的距离(结果精确到0.1 km)(参考数据：1.73，sin 750.97，cos 750.26，tan 753.73，sin 530.80，cos 530.60，tan 531.33，sin 380.62，cos 380.79，tan 380.78)【精彩点拨】(1)以bd为边的三角形为abd和bcd，在abd中，一角和另外两边易得，所以可在abd中利用余弦定理求解db.(2)以cd为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解【规范解答】(1)设bdx km，则在abd中，由余弦定理得5282x228xcos 30，即x28x390，解得x43.因为438，应舍去，所以x433.9，即这条公路的长约为3.9 km.(2)在abd中，由正弦定理得，所以sinabdsincbdsinadb0.8，所以coscbd0.6.在cbd中，sindcbsin(cbdbdc)sin(cbd75)0.80.260.60.970.79，由正弦定理得cdsindbc3.9.故景点c与景点d之间的距离约为3.9 km.再练一题3如图13，某住宅小区的平面图呈扇形aoc.小区的两个出入口设置在点a及点c处，小区里有两条笔直的小路ad，dc，且拐弯处的转角为120.已知某人从c沿cd走到d用了10分钟，从d沿da走到a用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径oa的长(精确到1米)图13【解】法一：设该扇形的半径为r米，由题意，得cd500米，da300米，cdo60.在cdo中，cd2od22cdodcos 60oc2，即5002(r300)22500(r300)r2，解得r445(米)法二：连接ac，作ohac，交ac于点h，由题意，得cd500米，ad300米，cda120.在acd中，ac2cd2ad22cdadcos 1205002300225003007002，ac700(米)coscad.在rthao中，ah350(米)，coshao，oa445(米)转化与化归思想转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路在abc中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos asin bsin c，试确定abc的形状【精彩点拨】充分运用正弦定理和余弦定理，可利用边的关系判断，也可转化为角的关系来判断【规范解答】法一：由正弦定理，得.又2cos asin bsin c，所以cos a.由余弦定理，有cos a，所以，即c2b2c2a2，所以ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2，所以bc，所以abc.因此abc为等边三角形法二：因为abc180，所以sin csin(ab)又因为2cos asin bsin c，所以2cos asin bsin acos bcos asin b，所以sin(ab)0.因为a、b均为三角形的内角，所以ab.又由(abc)(abc)3ab，得(ab)2c23ab，即a2b2c2ab，所以cos c.因为0c180，所以c60，因此abc为等边三角形再练一题4已知abc中，c2，且acos bbcos a，试判断abc的形状. 【解】由c2，得a3b3c3c2(ab)c3，a2b2abc2，cos c，c60.由acos bbcos a，得2rsin acos b2rsin bcos a(r为abc外接圆的半径)，sin(ab)0，ab0，abc60，abc为等边三角形1钝角三角形abc的面积是，ab1，bc，则ac()a5b. c2d1【解析】sabbcsin b1sin b，sin b，b或.当b时，根据余弦定理有ac2ab2bc22abbccos b1225，ac，此时abc为钝角三角形，符合题意；当b时，根据余弦定理有ac2ab2bc22abbccos b1221，ac1，此时ab2ac2bc2，abc为直角三角形，不符合题意故ac.【答案】b2abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若cos a，cos c，a1，则b_.【解析】因为a，c为abc的内角，且cos a，cos c，所以sin a，sin c，所以sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c.又a1，所以由正弦定理得b.【答案】3如图14，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别是67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度bc约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)图14【解析】根据已知的图形可得ab.在abc中，bca30，bac37，由正弦定理，得，所以bc20.6060(m)【答案】604在abc中，b120，ab，a的角平分线ad，则ac_. 【解析】如图，在abd中，由正弦定理，得，sinadb.adb45，bad1804512015.bac30，c30，bcab.在abc中，由正弦定理，得，ac.【答案】5abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知2cos c(acos b