几何体的外接球.doc

几何体的外接球几何体外接球问题的是高考的高频考点，重点考查学生的空间想象能力，难点在于准确寻找外接球的球心。我们要抓住几何体外接球球心的本质特征：（1）外接球球心是任意两条直径的交点；（2）外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上；（3）外接球的球心在经过几何体任意一个平面的外心且与此平面垂直的垂线上。所以如何交出球心是关键，一般是先找几何体某一特征平面的外心，再作经过此外心的作特征平面的垂线，空间问题转化为平面问题，然后在平面上利用球的几何性质作图交出球心。下面结合实例的应用进行说明。1设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD1B【解析】三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心连线过球心，且，为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心，则有，球半径，球的表面积为【点评】寻找直棱柱的外接球球心，只要找到直棱柱上、下底面的外心，两外心连线即与底面垂直，此线段中点即为外接球的球心2三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为_2【解析】三棱锥中，为等边三角形，以为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥外接球长方体的对角线长为，球直径为，半径，因此，三棱锥外接球的表面积是【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球3已知四面体中，平面，则四面体外接球的表面积为3【解析】由，可得；又平面，平面，以为长、宽、高，作长方体如图所示：则该长方体的外接球就是四面体的外接球，长方体的对角线长为，长方体外接球的直径，得；因此，四面体的外接球体积为【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，等效于一个“墙角”，可将“墙角”补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球，在长方体中确定直径解决外接问题4已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为（）A B C D4C【解析】根据题意作出图形：设球心为O，过三点的小圆的圆心为，则平面，延长交球于点，则平面由，得高，而是边长为1的正三角形，则，得【点评】外接球球心与几何体任意平面的外心连线垂直于该平面5.已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，则球的体积为（ ）A B C D 5.C【解析】如图，由条件知是以为直径的直角三角形，取的中点，知，又为等边三角形，所在的小圆面与平面垂直，得平面，即球心在上，且，设球半径为，则，可得，故球的体积为【点评】如果三棱锥的面是直角三角形，直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，即为外心.6.已知在梯形中，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的体积为 . 6.【解析】如图，由条件知是以为直径的直角三角形，取的中点，知，又，取的中点，则，又二面角是直二面角，知，所以，所以，即为三棱锥的外接球的的球心，故三棱锥的外接球的体积为.7在四面体中，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C D 7D【解析】因为所以，设的中点为，连接，则三角形的外心为在线段上，且，又三角形的外心为，又，所以平面，过垂直于平面的直线与过垂直于平面的直线交于点，则为四面体外接球的球心，在三角形中，由余弦定理得，所以，所以，设外接圆半径为，则，所以.【点评】外接球球心在与棱垂直的的平面中，然后在平面中可以通过平面的外心作垂线与过平面的外心并垂直平面的垂线相交出外接球球心，也可以通过棱的中垂线与过平面的外心并垂直平面的垂线相交出外接球球心8已知边长为的菱形中，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）A B C D8D【解析】如图所示，设两三角形外心分别为,球心为，,故，球的半径为，故球的表面积为.【点评】外接球球心在与棱垂直的的平面中，使空间问题平面化9点、在半径为的同一球面上，点到平面的距离为，则点与中心的距离为（ ）A B C D9B【解析】设球心为,中心为，外接圆半径，依题意，平面，作，垂足为，则，为的中点，【点评】几何体的外接球问题的作图有时可不画出球，直接在原图形上建立几何直观，避免复杂作图10在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为10D【解析】如图所示，以A为原点建系，则，设球心为，则，即，解得，从而外接球表面积