选修2-2第一章11变化率与导数教案打印.doc

课题： 1.1.1变化率问题 授课教师：雅礼中学教学班级教学目的1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率知识重点平均变化率的概念教学过程方法和手段一创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析: ，1 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为2 当V从1增加到2时,气球半径增加了hto 气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3 则平均变化率为思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?f(x2)y=f(x)yy =f(x2)-f(x1)f(x1)直线AB的斜率x= x2-x1x2x1xO三典例分析例1已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 解：，例2 求在附近的平均变化率。解：，所以 所以在附近的平均变化率为四课堂练习1质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六布置作业教学后记（实际教学效果及改进设想） 课题：1.1.2导数的概念 授课教师：雅礼中学 教学班级教学目的1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学难点瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念知识重点导数的概念教学过程方法和手段一创设情景（一）平均变化率（二）复习提问(导数定义的引入)1什么叫瞬时速度？2怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？二新课讲授（一）瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？ 下面以自由落体运动为例来分析已知：s=gt2，(1)计算t从3秒分别到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒、各段时间内的平均速度(2)求t=3秒时的瞬时速度解：(1)3，3.1：t=0.1， t指时间改变量。s=s(3.1)-s(3)=0.305g，s指时间改变量。=3.05g其余各段时间内的平均速度，事先写在小黑板上，待学生回答完第一段时间内的平均速度后，即出示小黑板，然后让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况(2)从(1)可见某段时间内的平均速度随t变化而变化，t越小，越接近于一个定值3g(即t=3秒时的速度)，由极限定义知这个值就是t0时的极限。V=3g=29.4(米/秒)小结：一般求非匀速直线运动在时刻t0的瞬时速度的方法如下：非匀速直线运动的规律s=s(t)时间改变量t，位置改变量s=s(t0t)s(t0)，平均速度=，瞬时速度v=当t很小时，平均速度为什么能近似地代替瞬时速度？当t0时，平均速度的极限是瞬时速度的近似值还是精确值？小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。（二）导数的概念上面我们研究了非匀速直线运动的速度问题，象这类问题在现实生活中大量存在，如物体的比热、电流强度以及化学中的物质反应速度等，虽然它们的物理意义和化学意义各不相同，但是它们的数学形式是相同的我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性即函数y=f(x)，自变量的改变量x；函数的改变量 y=f(x0x)f(x0)平均变化率：，瞬时变化率f(x0)= （1）导数的定义：设函数f(x)在x0及其附近有定义，并且极限存在，则称函数f(x)在x0处可导，并把这个极限值叫做f(x)在点x0的导数，记作：f(x0)或y| x=x0 .几点说明：函数f(x) 在x0处可导，是指x0时比值有极限，如果的极限不存在，就说函数在点0处不可导或说无导数。xxx0是自变量x在x0处的改变量，所以x可以为正，也可以为负，也可以时正时负，但x0，而函数变化可正、可负、也可以是零由导数定义可知前例自由落体运动在t3秒时的瞬时速度3g=29.4就是路程函数s(t)在t03处的导数3g=29.4(米/秒)（2）求导数的一般方法：(由学生来归纳)求改变量y=f(x0x)f(x0)；求比；求比的极限。（三）导函数，当时，所以由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到， 是一个确定的数，那么，当x变化时，便是x的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即：注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（四）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 (3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。三典例分析例1（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2，再求再求解：法一 定义法（略） 法二：（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： 例2求函数y=的导数。解：y，。引导学生分析这两例的异同，弄清“函数f(x)在点x0处的导数”，“导函数”，“导数”，它们之间的区别和联系请学生回答后，教师再归纳以下几点：函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量比的极限，它是一个数值，不是变数函数的导数，是对某一区间内任意点x说的，就是函数f(x)的导函数f(x)函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x=x0处的函数值求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值四课堂练习1质点运动规律为，求质点在的瞬时速度2教材例1中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义3求yx32x1在x=2处的导数解：y(xx)32(xx)1(x32x1)(3x22)x3x(x)2(x)3，=(3x22)3x(x)(x)2，y=3x22， y|x=2=10。4已知y=，求y。答：y五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念3求导数的一般方法4“函数在某一点的导数”，“导函数”“导数”的区别和联系六布置作业教学后记（实际教学效果及改进设想） 课题：1.1.3导数的几何意义 授课教师：雅礼中学教学班级教学目的1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题教学难点曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义知识重点导数的几何意义教学过程方法和手段一创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即x0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？ 切线PT的斜率为多少？容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：（1）设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.三典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点处的切线.解：（1）,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即（2）因为所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即例2（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、附近的变化情况解：我们用曲线在、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况（1） 当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降（2） 当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减（3） 当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢例3（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作处的切线，并在切线上去两点，如，则它的斜率为：，所以 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率0.40-0.7-1.4例4、求曲线在点（1，）处的切线方程。分析：关键是求切线的斜率，即在点（1，）处的导数。解y切线方程为y-=(x-1),即x+4y3=0例5、在曲线y=2x2上找一点M，使过M的切线与直线y=4x1平行分析：实际上是找一点，使过这点的切线的斜率k=4，即这点的导数为4解：设所求点为M(x0，2x02)过这点的切线的斜率是这点的导数y4x0.而直线y=4x1的斜率为44x0=4，x0=1M(1，2)例6、求双曲线与抛物线的夹角（即交点处切线的夹角）分析：关键是求交点处切线的斜率，即在交点处两个函数的导数解：由方程组：解得交点M（1,1），双曲线在点M（1,1）处的切线的斜率k1=|x=1=-1,抛物线在点M（1,1）处的切线的斜率k2=|x=1=|x=1=,=arctan3例7、求过点（2,0）且与曲线相切的直线方