人教A版选修11 第三章3.3.2　函数的极值与导数 学案.docx

3.3.2函数的极值与导数学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一极值点与极值的概念思考观察函数f(x)x32x的图象f()的值是多少？在x左、右两侧的f(x)有什么变化？f()的值是多少，在x左、右两侧的f(x)又有什么变化？答案f()0，在x的左侧f(x)0，在x的右侧f(x)0；f()0，在x的左侧f(x)0.梳理(1)极小值点与极小值如图，函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值1导数值为0的点一定是函数的极值点()2极大值一定比极小值大()3函数f(x)有极值()4函数的极值点一定是其导函数的变号零点()类型一极值与极值点的判断与求解例1已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)()a在(，0)上为减函数 b在x0处取极小值c在(4，)上为减函数 d在x2处取极大值考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案c解析由导函数的图象可知：当x(，0)(2,4)时，f(x)0，当x(0,2)(4，)时，f(x)0，因此f(x)在(，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，)上为减函数，所以在x0处取得极大值，在x2处取得极小值，在x4处取得极大值，故选c.反思与感悟通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点跟踪训练1如图为yf(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是()f(x)在(3，1)上为增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在(2,4)上为减函数，在(1,2)上为增函数；x2是f(x)的极小值点a bc d考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案b解析当x(3，1)时，f(x)0，f(x)在(3，1)上为减函数，在(1,2)上为增函数，不对；x1是f(x)的极小值点；当x(2,4)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.(2)f(x)x22xa，由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根，44a0，解得a1.反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练3已知函数f(x)的导函数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是()a(，1) b(0，)c(0,1) d(1,0)考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案d解析若a1，f(x)a(x1)(xa)，f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，f(x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意矛盾，故选d.类型三函数极值的综合应用例4已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根解因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1，所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以f(x)的单调增区间为(，1)，(1，)；单调减区间为(1,1)，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.作出f(x)的大致图象如图所示因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(3,1)引申探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解由本例解析可知当m3或m1时，直线ym与yf(x)的图象有两个不同的交点；当m1时，直线ym与yf(x)的图象只有一个交点反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便跟踪训练4已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，得解得16m.即m的取值范围为.1函数f(x)的定义域为r，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()a无极大值点，有四个极小值点b有三个极大值点，两个极小值点c有两个极大值点，两个极小值点d有四个极大值点，无极小值点考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案c解析f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点2已知函数f(x)x，则f(x)()a有极大值2，极小值2b有极大值2，极小值2c无极大值，但有极小值2d有极大值2，无极小值考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题答案b解析函数的定义域为x|x0，因为f(x)x，所以f(x)1，令f(x)10，得x1.当x1时，f(x)0；当1x0或0x1时，f(x)0.所以当x1时函数有极大值2；当x1时函数有极小值2.3已知函数f(x)x3ax23x9，且f(x)在x3时取得极值，则a等于()a5 b3 c4 d2考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案a解析因为f(x)3x22ax3，则f(3)3(3)22a(3)30，所以a5.4已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()a1a2 b3a6ca2 da6考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案d解析f(x)3x22axa6，因为f(x)既有极大值又有极小值，则(2a)243(a6)0，解得a6或a0，f(x)在(，)上是单调递增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，xln a.当x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上是单调递减的，在(ln a，)上是单调递增的，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题一、选择题1已知函数yf(x)在定义域内可导，则函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件考点函数极值的应用题点极值存在性问题答案b解析根据导数的性质可知，若函数yf(x)在这点处取得极值，则f(x)0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)x3在r上是增函数，f(x)3x2，则f(0)0，但在x0处函数不是极值，即充分性不成立故函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选b.2函数f(x)x2ln x的极值点为()a0,1，1 bc. d.，考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题答案c解析由已知，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当0x时，f(x)0，解得x3或x2，所以函数的一个单调递增区间是(3，)4设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则()af(x)极大值为f()，极小值为f()bf(x)极大值为f()，极小值为f()cf(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)df(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案d解析当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)0.f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(3)5函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则点(a，b)为()a(3，3) b(4,11)c(3，3)或(4,11) d不存在考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案b解析f(x)3x22axb，当x1时，f(x)有极值10，解得或验证知当a3，b3时，在x1处无极值，a4，b11.6函数yx32axa在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是()a(0,3) b(，3)c(0，) d.考点函数极值的应用题点极值存在性问题答案d解析令y3x22a0，得x.由题意知，(0,1)，即01，解得0a.7已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()a.，0 b0，c，0 d0，考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题答案a解析f(x)3x22pxq.由f(1)0，f(1)0，得解得所以f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10，得x或x1，易得当x时f(x)取极大值.当x1时f(x)取极小值0.8已知ar，且函数yexax(xr)有大于零的极值点，则a的取值范围为()aa1ca考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案a解析因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.二、填空题9函数yxex在其极值点处的切线方程为_考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案y解析令yexxex(1x)ex0，得x1，y，函数yxex在极值点处的切线方程为y.10.已知函数f(x)ax3bx22，其导函数f(x)的图象如图所示，则函数的极小值是_考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案2解析由图象可知，当x0时，f(x)0，当0x0，故当x0时，函数f(x)取极小值f(0)2.11若直线ya与函数f(x)x33x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是_考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根答案(2,2)解析令f(x)3x230，得x1，可得f(x)的极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，所以当2a0)，故f(x)x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，即a0，a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点四、探究与拓展14已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()a(，0) b.c(0,1) d(0，)考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案b解析由题意知，x0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数yln x1与y2ax的图象有两个不同的交点，则a0.设函数yln x1的图象上任一点(x0,1ln x0)处的切线为l，则k1，当l过坐标原点时，解得x01，令2a1a，结合图象知，0a，故选b.15已知函数f(x)x22ln x，h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)