函数与方程-2026高三一轮复习讲与练

2.10函数与方程

考试要求

1.理解函数零点与方程解的关系.

2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.能用二分法求方程的近似解的步骤.

陞备知识回顾自主学习•基&何扣「

教材回扣

1.函数的零点

(1)函数零点的定义：使4上史的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:

2.函数零点存在定理

如果函数y=/(x)在区间口，牙上的图象是一条连续不断的曲线，且有3侬公那么，

函数y=/(x)在区间内至少有一个零点，即存在cwg,力)，使得&•)=(),这个c也就是

方程Hx)=0的解.

3.二分法

对于在区间口，灯上图象连续不断且.4也的函数y=/(x),通过不断地把它的零点

所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近重点，进而得到零点近似值的方法叫做

二分法.

ifw

1.若连续函数人只在定义域上是单调函数，则人r)至多有一个零点.函数的零点不是一个

“点”，而是其图象与x轴交点的横坐标，也是令函数值为0所得方程的实数根.

2.由函数y=/(x)(图象是连续不断的)在闭区间［a,3上有零点不一定能推出｛a)W5)〈0,

如图所示，所以/S)：/(b)vO是y=/(x)在闭区间［出勿上有零点的充分不必要条件.

.EU)

\/

Oa\Z7bx

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

基础检测；，

———----

1.判断(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)函数./(x)=2x的零点为0.(J)

(2)图象连续的函数尸儿:)(x£Q)在区间(m份GQ内有零点，则儿。必)<().(X)

(3)二次函数y=aP+/yx+c(a70)在62—4ac<0时没有零点.(V)

(4)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(X)

2.(人教A版必修第一册P143例1改编)函数./U)=_]+]'二’的零点个数为

(B)

A.3B.2

C.7D.0

xWO,[x>0,

解析：由，或

F+x—2=0[―l+lnx=(),

解得\=-2或》=6,故/W有2个零点.故选B

3.(人教A版必修第一册P144T2改编)函数人x)=log*+x—2的零点所在的区间为

(B)

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析：函数/W在(0,+8)上单调递增，则/(幻=0在(0,+8)上只有一个实数根，且｛1)

=一1,/2)=1,则｛1次2)<0,故外)的零点所在的区间为(1,2).故选B.

4.(苏教必修第一册P230T2改编)已知函数丁=/+加+。的零点是3和一1,则。+/>=

~5.

9+3。+6=0,

解析：因为函数y=x2+ax+/)的零点是3和一1,所以解得

\~aIZ>=0,

a=~2,

所以6/4-6=-5.

b=-3.

母键能力提升互动探究•考点希讲

考点1函数零点所在区间的判断

【例1】(1)(多选)已知函数次》)=2'—/,则下列区间含/M零点的是(ABC)

A.(-1,0)B.(1,3)

C.(3,5)D.(5,6)

【解析】/。)=2'一r2,因为/(-1)=一：/(o)=l,所以/(x)在(-1,0)内存在零点；因

为/(3)=-1,所以火力在(1,3)内存在零点;因为｛3)=-1,｛5)=7,所以人外在(3,

5)内存在零点；作出_)，=/与、=2*的图象如图所示，结合》=炉与卜=2丫的图象的交点情况可

知於)在(5,6)内没有零点.故选ABC.

(2―5—2

(2)已知函数/U)='''若方程/。)=1的实数根在区间囱"+1)/£Z

xlg(x+2),x>—2>

上，则k的最大值是(C)

A.一3B.—2

C.1D.2

【解析】当xW—2时，儿:)=/一5,当儿：)=1时，解得x=-6：当x>-2时，令/⑴

=xlg(x+2)=l,即lg(x-2)=1,画出函数y=lg(x+2方口y=l的图象(图略)，可得当心)=

XX

1时,%e(-2,-1)或xW(L2).综上,人的最大值是1.故选C.

个规律总结

1.确定函数/w的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数人外在区间句上的图象是否连续，再看是否有

K0必)<。若有,则函数7=/)在区间(°,份内必有零点.

(2)数形结合法：通过回函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结

合函数性质进行分析判断.

【对点训练1](1)根据表格中的数据可以判定方程Inx—x+2=0的一个根所在的区间

为(C)

X12345

Inx00.6931.0991.3861.609

x-2-10123

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

解析；设/(x)=lnx—z+2=1nx—(x—2),易知函数/(x)在(I,+—)上的图象连续，由表

格数据得{2)>0,火3)=1.099-1=0.099>0,{4)=1.386~2<0,<5)<0,则火3)火4)

<0,即在区间(3,4)±,函数/(》)存在一个零点，即方程lnx-x+2=()的一个根所在的区间

为(3,4).故选C.

(2)已知函数/(x)=lnx+x—2,则心0的零点所在的区间为(B)

X

A.t0B.(1,2)

C.(2,e)D.(e,3)

函数,/U)零点个数的判断方法

(1)直接求零点：令/a)=o,如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

(2)借助函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数/(》)的图象在口，0上是连续不断的

曲线，且/3)：/S)vo,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.

(3)把函数次口拆分为两个较简单的函数，画这两个函数图象，看其交点的个数，交点有

几个，就有几个不同的零点.

【对点训练2](1)函数/(x)=1(21一1I-log2K的零点个数为(B)

A.0B.1

C.2D.3

解析：由/(x)=0,得IQ)-1I=log2X,因此函数/(x)的零点即为函数p=log以与y=

it?-!I的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数夕=10酬与歹=ith-iI的图象,

如图，观察图象知，函数y=10gM与y=|[｝一』的图象有唯一交点，所以函数«r)=

iCl-1I—log2X的零点个数为1.故选B.

⑵(2024•河北邢台一模)函数<x)=llcos以一2r+l零点的个数为(C)

A.3B.4

C.5D.6

解析：令/(x)=1Icos7LV—Zv+1=0,可得1Icos7ir=2x—1,则函数/(x)=1ICOSXV

—2x+l零点的个数为y="COSTLY与y=2x—1图象的交点个数，显然y=11<:0$兀丫与》=

2x—1的图象均关于Q'°,对称，又当x=2时，1Icos27r>2X2—1,当x=4时，

1Icos4兀<2X4-1,再结合两个函数的图象，如图，可得y=1Icos兀丫与y=2x—1有5

个交点，故函数人工)=11COS7LT—2丫+1零点的个数为5,故C正确.故选C.

考点3函数零点的应用

命题角度1根据零点的个数求参数范围

、''若函数g(X)=/(X)+|x-l|-4恰有两个

C2—8x4-10,X>1,

零点，则实数。的取值范闱是(A)

P23]

A.148Ju(4,+s)

B.18J

f—8,23]

C.I8Ju(4,+8)

D.1，+8)

【解析】g(x)=0=v(x)+|x—1|—a=0=V(x)+|x—l|=a,令力。)=./)+以一1|，则/?(%)

x2+2x+1—x+1,xWl,‘必+x+2,xW1,

即心）=,，/作出/?⑴的图象，如图.

2x2—8x+10+x—1»x>\,lx-7x+9,x>l,

f723]

y=%(x)与y=a的图象有两个交点时，8Ju(4,+8).故选A.

命题角度2根据零点所在的区间求参数范围

【例4】函数｛x)=log>+x2+〃?在区间Q,4)上存在零点，则实数M的取值范围是

(D)

A.(-8,-18)B.(5,+8)

C.(5,18)D.(-18,-5)

【解析】若函数/3=k)g2x+x2+/〃在(2,4)上存在零点，由函数/(X)在(2,4)上的图象

连续不断,且为增函数，则根据函数零点存在定理可知,只需满足/2)W4)vO,即(加+5)(加

+18)<0,解得一18Vm<—5,所以实数/〃的取值范围是(-18,-5).故选D.

"规律总结

已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值

范围.

(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，把函数拆分为两个函数(一般一个含参，另一个不含参),

在同一平面直角坐标系中，画出拆分出的两个函数的图象，然后数形结合求解.

【对点训练3】⑴(2024•四川成都二模)已知函数40=''若存在，〃使得关

x，x^t,

于x的方程有两个不同的根，则f的取值范围为(B)

A.(-1,())U((),1)

B.(―1,0)U(l,H-oo)

C.(-8,-l)U(0,1)

D.(-8,-1)U(1,+8)

X1*3,x<t,

解析：由函数可得函数y=/(x)在(一8,/),[/,+8)上为增函数，当

X<t时，/(X)ma、f咒当时，J(x)min=t,若存在，〃使得关于X的方程/(X)=M有两个不同的

根，只需前>/,解得一lvz<0或Q1,所以/的取值范围为(一1,0)U(l,+8).故选B.

(2)已知函数./(x)=log2(x十1)一1十，〃的零点在区间(1，3]上，则w的取值范围为(D)

A.昌。)

卜8,_5]

B.I3JU((),4-oo)

卜8,_5]

C.I3」U(0，+8)

n「-5,0〕

D.3J

解析：由于函数尸1哨(1+1)，)，=〃?」在区间(1,3]上均为增函数，所以函数段)在(1,

X

1附)<0，

3]上为增函数，由于函数«r)=log2a+1)—+，〃的零点在区间(1，3]上，贝IJ即

x17(3)20,

ni<0,-5]

3加，解得一：。<。.因此，实数，〃的取值范围是1-3'故选D.

3

课时作业15

▲j亚基础巩固.

1.(6分)(2024•山东青岛二模)函数。工1)的零点为(B)

A.0B.1

C.(1,0)D.a

解析：因为火刈一〃,一〃(〃>(),令/(x)—o'—a—0,解得x—l,印函数的零点为1.

故选B.

2.(6分)函数次》)=2'+》3—2的零点所在区间是(B)

A.(-2,-1)B.(0,1)

C.(-1,0)D.[-1,0)

解析：由函数/»)=2'+戈3-2可知/(》)单调递增，因为-2)=1—8—2=-39<0,«—1)

44

=；一1-2=一$0,/(0)=I+0—2=—1<0,/(1)=2+1-2=1>0,所以/(x)零点所在区间是(0,

1).故选B.

3.(6分)设函数刎'2则/⑴的零点个数为(D)

2*+x,xWO,

A.0B.1

C.2D.3

解析：当x>0时，令|log以1=0,，x=2或x=；,儿0有2个零点；当xWO时，令2、

+.¥=0,即2'=-n结合函数>>=2',y=-x的图象(如图)可知二者在xWO时有1个交点，

即此时/(》)有1个零点.综上可知，/(x)的零点个数为3.故选D.

4.(6分)函数"Y)=2'-2—。的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是

X

(A)

A.(0,3)B.(1,3)

C.(1,2)D.[2,+8)

解析：因为函数y=2"y=-2在(o,+8)上单调递增，所以函数人工)=2、-2—。在(0,

XX

+8)上单调递增，由函数«0=2'—2—。的一个零点在区间(1,2)内得，/(1)7(2)=(2—2—〃)(4

X

-l-a)=(-a)X(3-a)<0,解得0<“3.故选A.

5.(6分)(2024•广东梅州二模)三个函数/")=炉+工一3,g(x)=lnx+x—3,ACv)=ev+x—

3的零点分别为a,b,c,则a,b,c之间的大小关系为［B)

A.a<b<cB,c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

解析：因为函数y=x?,y=e\y=\nx,y=x-3都是增函数，所以函数,/(》)=/+匕-3,

g(x)=ln.r+x—3>僦工)=口+%—3均为增函数,因为1<0,/(2)=7>0,所以函数危)

的零点在(1,2)±,即。W(1,2),因为g(2)=ln2-l<0,g(3)=ln3>0,所以函数g(x)的零点

在(2,3)上，即〃£(2,3).因为刀(0)=—2<0,7;(l)=c-2>0,所以函数贻)的零点在(0,1)

上，即c£(0,1),综上，c<a<b.故选B.

6.(6分)」知函数/(x)=，''若函数g(x)=/(x)+〃［有3个零点，则出的取

logir,Q1,

值范围是(D)

A.(0,2)B.(-2,0)

C.(0,1)D.(-1,0)

|3r—1|»

解析：令g(x)=y(x)+掰=(),故y(x)=一机，画出/(x)=与的图

10g2X,x21

象，如图，

函数g(x)=/(x)+机有3个零点，即y=/(x)与3，=一〃?图象有3个不同的交点，则一“£(0,

1),解得〃?£(一1,()).故选D.

7.(6分)(2024・浙江绍兴三模)已知函数/(2x+l)为倡函数，若函数鼠工)=/(外+2乩+2'」

-5的零点个数为奇数，则/(1)=(C)

A.1B.2

C.3D.0

解析：因为函数/(2x+l)为偶函数,所以/(-2x+l)=/(2x+l),所以歹=/(x)的图象关于

直线x=l对称，令〃。)=21"+2*7—5,则/?(2—x)=2X*1+21-5=/i(x),可得函数h(x)=2ix

+2-'-5的图象关于直线x=l对称，所以函数虱》)=/5)+2-+2、/-5的图象关于直线x=l

对称，则函数g(x)的零点关于直线x=l对称，但g(x)的零点个数为奇数，则虱1)寸1)+1+

1-5=0,所以火1)=3.故选C.

8.(6分)已知/(X)是定义在R上的偶函数，且对任意的x£R,有42—幻=一儿1),当工£［(),

1］时，人工)=9+x—a,则下列说法不正确的是(C)

A.火2025)+负2026)=2

B.点(一7,0)是函数/(x)图象的一个对称中心

C.当工上［7,8］时，危)=r+|7x+54

D.函数y=/a)—log6(6x+1)恰有3个零点

解析：因为人2—幻=—/(x),令x=l,得/(1)=0,所以<1)=12+1—。=0,解得。=2.

因为人外为偶函数，又大2—x)=一儿0,所以")的图象关于点(1,0)对称，所以人工+4)=—/(一

2—x)=~/(2+x)=/(—x)=/(x),所以/(x)是周期为4的周期函数，对于A,.火2025)+/(2026)

=/(l)+/(2)=Al)-X2-2)=2,故A正确：对于B,因为.，心)的周期为4,道好的图象关于点(1,

0)对称，所以(一7,0)是函数/(x)图象的一个对称中心，枚B正确；对于C,当x£[7,8]时，

x-8e[-l,0],8-x£[0,I],所以./(X)=/(X—8)=/(8—X)=(8—X)2+8—X—2=X2—17X+70,

故C不正确：对于D,作函数y=log6(6x+l)和y=/(x)的图象如图所示，

由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数y=/(x)—log6(6x+l)有3个零点，故D

正确.故选C.

9.(8分)(多选)已知函数人工)=3—1—2,则下列区间中含/(x)零点的是(AD)

A.(~2,—1)B.(—1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

解析：由函数./(x)=e'—x—2,可得八一2)=小+2—2=峭>0,./(—l)=e"+1—2=e-'—1<0,

/(0)=e0-0-2=-l<0,/(l)=e'-l-2=e-3<0,_/(2)=e2-2-2=e2-4>0,可得A—2次一

1)<0,7(1)/(2)<0,结合函数/(x)的单调性：/(》)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递

增，根据函数零点存在定埋可知在区间(-2,—1)和(1,2)中存在零点.故选AD.

10.(8分)(多选)(2024•甘肃定西一模)已知函数一1|一小g(x)=x2—4用+2—〃，

贝l」(BD)

A.当g(x)有2个零点时，儿丫)只有1个零点

B.当g(x)有3个零点时，贝式)只有1个零点

C.当・/)有2个零点时，/x)有2个零点

D.当有2个零点时，g(x)有4个零点

解析：令人刈=0,g(.v)=(),得|2、一1|=4,4用+2=々，利用指数函数与二次函数的

性质作出y=|2、一1|,»=/-4用+2的大致图象，如图所示，

由图可知，当g(x)有2个零点时，”=-2或〃>2,此时.儿丫)无零点或只有1个零点，故A

错误；当g(x)有3个零点时，〃=2,此时/(工)只有1个零点，故B正确：当/(x)有2个零点时,

0<«<1,此时g(x)有4个零点，故C错误，D正确.故选BD.

11.(6分)(2024•北京昌平区二模)已知p：设函数./(X)在区间(0,+8)上的图象是一条连

续不断的曲线,若")况2]>0,则/)在区间(1,2)内无零点.能说明p为假命题的一个函数

的解析式是.K0三〔匚1卜(答案不唯一).

解析：解析式为/(幻=1—2》，函数的定义域为R,所以函数/(x)在区间(0,+8)上的

图象是一条连续不断的曲线，因为川)=!，*2)=|,所以『)7(2)>0,又JJ=0,几工)在区间

44

(1，2)内有零点，所以p为假命题.(答案不唯一)

12.(6分)(2024•河南郑州二模)已知函数｛x)是偶函数，对任意x£R,均有次的=/(工+2),

当x£[(),1]时，火幻=1一口则函数以x)=/(x)—log5(x+l)的零点有生个.

解析：函数/(x)是偶函数，说明函数/⑴的图象关于y轴对称，/(x)=/(x+2)说明/㈤的周

期是2,在同一平面直角坐标系中画出函数)，=儿丫)的图象与y=log5(x+l)的图象，如图所示,

共有4个不同的交点，即g(.t)=/(x)—k)g5a+l)有4个零点.

成+射YW()

13.(6分)(2024•山东泰安三模)已知函数人》)=■若曲线歹=/(x)与直

In(1—x),1,

线》=办恰有2个公共点，则a的取值范围是F—1,2).

解析：当xWO时，«X)=X2+2X,其在(一8,—1)上单调递减，在(一1,0)上单调递增，

且/(x)=2x+2,则/(0)=2；当时，Hx)=ln(l—x),f(x)=-1<0,其在(0,1)上单

1—x

调递减，且/(0)=—1.作出段)的图象,如图，易知a的取值范围是[-1,2).

14.(6分)(2024・四川绵阳模拟)已知函数/(x)=g(x)=x-3,方程/(g：x))

Inx>Of

=-3—g(x)有两个不同的根，分别是Xl，X2，则Xl+》2=(B)

A.0B.3

C.6D.9

解析：由题意得式v)=x-3为R上的增函数，且以3)=0,当xW3时，g(x)WO,./收(编)

=e“3,当x>3时，g(x)>0,儿Kx))=In(x—3),方程九介))=-3—g(x)=-x有两个不同的根

等价了函数歹=/(半外)与y=一工的图象有两个交点，作出函数y=/(ga))与y=~x的图象如图

所示，由图可知y=e*3与y=in(x-3)的图象关于直线y=x-3对称，则48两点关于直线

片—x,