苏教版22 3.3复数的几何意义 学案1 (1).doc

互动课堂疏导引导1.复数与复平面 由于复数a+bi(a、br)是由实数对(a,b)来确定的，复数a+bi2.复平面的定义：直角坐标系中表示复数的平面叫做复平面.(1)实轴x轴，表示实数.(2)虚轴y轴，表示纯虚数. 坐标原点是实轴与虚轴的交点,原点(0,0)对应复数0.3.复平面的意义：复平面的建立，使复数集与复平面上的点集之间建立了一一对应关系. 复数z=a+bi(a、br)与复平面内的点z(a,b)及以原点为起点z(a,b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应.z=a+bi(a、br)点z(a,b)向量，点z(a,b)或向量是复数z的几何表示. 这样，就使复数与解析几何之间建立了联系，提供了用复数解决几何问题，或用几何方法解决复数问题的条件. 复数、复平面内的点、向量之间的一一对应关系中，向量应特别注意,它是以原点o为起点的，否则，就谈不上一一对应，因复平面上与相等的向量有无数多个.4.注意：(1)任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数(a,b)唯一确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对(a,b)叫做复数的.(2)复数z=a+bi用复平面内的点z(a,b)表示.复平面内的点z的坐标是(a,b)，而不是(a,bi).也就是说，复平面内的纵轴上的单位长度是1，而不是i.由于i=0+1i，所以用复平面内的点(0,1)表示i时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数i时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位i，或者i就是纵轴的单位长度. 虚轴上的点(a,b)(b0)都表示纯虚数，这是因为a=0,b0时a+bi为纯虚数，虚轴上的点只有原点表示实数0.5.复数的模是实数绝对值概念的扩充，且z=，它是复数对应的点到原点的距离.6.复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义 复数z1+z2是以、为两邻边的平行四边形的对角形所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数z1-z2是连结向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.(3)复平面内的两点间距离公式：d=|z1-z2|, 其中z1、z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d为点z1和z2间的距离.7.重视下列重要结论：(1)若z1z20,则|z1+z2|=|z1-z2|对应的两个向量;(2)复数z1、z2、z3对应的点分别为a、b、c,则abc的重心所对应的复数为;(3)|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|;(4)z-z0=r，则z的轨迹为以z0为圆心,r为半径的圆周.案例 复数z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数(如下图).【探究】利用，求点d的对应复数.也可利用原点o恰好是正方形abcd的中心来解.解法一：设复数z1、z2、z3所对应的点为a、b、c，正方形的第四面点d对应的复数为x+yi(x，yr)，于是：对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i；对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.，即(x-1)+(y-2)i=1-3i，解得 故点d对应的复数为2-i.解法二：因为点a与点c关于原点对称，所以原点o为正方形的中心，于是(-2+i)+(x+yi)=0，x=2，y=-1，故点d对应的复数为2-i.【规律总结】根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用.活学巧用1.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内(a、br)与数轴上的点无法建立一一对应关系，但是我们可以让复数与平面上的点建立起这种对应关系.为此，我们引进复平面的概念. 对应的点在第三象限，求实数x的范围.解析：x为实数，x2-6x+5和x-2都是实数.复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限,解得1x2，即1x2为所求实数x的范围.2.实数x分别取什么值时，复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i表示的点(1)在实轴上？(2)在虚轴上？解析：(1)当x2-2x-15=0，即x=-3或x=5时，复数z对应的点在实轴上.(2)当x2+x-6=0，即x=2或x=-3时，复数z对应的点在虚轴上.3.实数m分别取什么数值时，复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)对应点在x轴上方；(5)对应点在直线x+y+5=0上.分析：利用z=a+bi(a，br)是实数、虚数、纯虚数的条件和z=a+bi与点(a，b)的对应关系进行求解.解：(1)由m2-2m-15=0，得知：m=5或m=-3时，z为实数；(2)由m2-2m-150，得知：m5且m-3时，z为虚数；(3)由得知：m=-2时，z为纯虚数；(4)由m2-2m-150，得知m-3或m5时，z的对应点在x轴上方；(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0，得知：m=或m=时，z的对应点在直线x+y+5=0上.4.设zc，满足下列条件的点z的集合是什么图形？(1)z=4； (2)2z4.解析：(1)复数z的模等于4，就是说，向量的模等于4，所以满足条件z=4的点z的集合是以原点o为圆心，以4为半径的圆.(2)不等式2z4可化为不等式组 不等式z4的解集是圆z=4内部所有的点组成的集合，不等式z2的解集是圆z=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2z4的点z的集合.容易看出，点z的集合是以原点o为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.5.设及分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，计算z1-z2并在复平面内作出.解析：z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i=1+2i.6.已知复数z的模为2，求复数的模的最大值、最小值.解法一：由已知，复数z对应的点z在复平面内，以原点为圆心，半径为2的圆上，设w=，z=.|z|=|w-()|=2.复数w对应的点在复平面内，以(1,)为圆心，半径为2的圆上，此时圆上的点a对应的复数wa的模有最大值,圆上的点b对应的复数wb的模有最小值. 如图，故1+zmax=4，|1+z|min=0.解法二：利用公式z1-|z2|z1+z2|z1|+|z2|.z=2,|z|-|1+|z+1+|z|+|1+|.0|z+1+|2+2.|z+1+|min=0,|z+1+|max=4.7.(2006山东潍坊统考题)已知虚数z满足2z+1-i=|z+2-2i|,(1)求|z|的值;(2)若mz+r,求实数m的值.解:(1)设z=a+bi(a、br,且b0), 则2a+2bi+1-