分析数学教案第一章.doc

分析数学教案主讲人 姜广浩淮北师范大学数学科学学院2014年2月20日第一章 一元函数的极限 1.1 利用定义及迫敛性定理求极限设表示实数集合,表示扩张的实数集,即.例1 若.证明 (算术平均值收敛公式).证明 (1)设,由,当时, .因此,其中.又存在,当时, .因此当时, .(2) 设,则,当时,.因此,其中.由于,所以存在,当时, ,.因此.(3) 当时,证明是类似的.(或令转化为(2).注 例1的逆命题是不成立的.反例为,容易看出,但是极限不存在.例2 设为单调递增数列, .证明若,则证明 由为单调递增数列,当时有.固定,则有,其中.令,则.又由于,所以.令,由迫敛性定理得注 当为单调递减数列时,上述结论也成立.例3 设数列收敛,且,证明.(几何平均值收敛公式).证明 设,则由极限的不等式性质得.（方法一）(1)若,则,由例1, .因此(2)若,则.因此,.（方法二）(1)若,则由,得.再由不等式及例1和迫敛性定理得(2)若,则由不等式及例1和迫敛性定理得注 可以证明当时结论也成立.此外，可以转化为幂指数列形式: .而作为幂指函数的特例一般又可以转化为的形式,这种转化在考研解题中经常见到.例4 设,证明:若存在,则也存在且.证明 令,.由例3得, .所以.例5 证明.证明（方法一） 设,则().由例4得（方法二） 利用司特林(Stirling)公式得（方法三）利用定积分的定义.原极限=.其中 .例6 设,().令.证明 .证明 （方法一）.由于数列收敛,故是有界的.设,则.利用例1得.（方法二）.易知,当时,由例1，二、三项极限为0.下证第四项为0.由于数列收敛,故是有界的.设,则（利用例1）.故.例7 设.证明.证明 由,当时, .所以,其中.又存在,当时, .故当时, .例8 证明.证明 令,则.所以.由迫敛性定理得, ().所以.例9 求极限.解 以下不等式是显然的: .再由例8与迫敛性定理得所求极限为1.也可以利用例1的结论.例10 求数列的极限.解 由，知.这个式子相加得,由迫敛性定理，.同理可求,故数列的极限为2.例11 设，.试证.证明 注意到，由 （1）由条件,有,当时, ,即.令则当时,有从而有.再由（1）得. 注 为了证明 ，关键问题在于证明能任意小.为此，一般说来应尽可能将的表达式化简.但有时虽然不能简化，反倒可以把变复杂化，变成与相类似的形式.这种方法称为拟合法.拟合法的思想实质是将单位1作适当的分解，分析数学利用这种拟合法，解决了不少最大问题，也是考研热点.例12 设是两个定数,且当时.证明.证明 由, ,相加得.所以.这里利用无穷等比数列求和公式.这推出.例13 设,求极限.分析 若极限存在且为,则.由此解得.再由知.故.此外，本题利用拟合法.解 令,我们有.由上述递推关系可得,由于,故得.例14 设,求极限.分析 若极限存在且为,则.由此解得.再由知.故.解 由得.同理有.一般情况有.所以.注 此题般结论：设,则.例15 设是正数,对任意自然数,令.证明.证明 ,同理.两式相除得.由归纳法得.由于,得到.所以.若不存在，则必有,矛盾！从而.1.2 Stolz定理及其应用 定理1 设是趋于零的数列, 严格递减趋于零,则当存在或为、时，有.证明 设.(1) 若是有限实数,则,当时,有.由于,所以,上述各式相加得 .在上式中固定并令,由于,得 .注意到,由上式便得.所以.(2)若,则,当时,有 .仿照(1)中的证法可得,对任意自然数,有,固定并令,得.所以.(3)若,可用代替转化为(2)的情形.定理2 设是任意数列, 严格递增趋于,则当存在或为、时，有.证明 设.(1) 若是有限实数,则,当时,有.由于,所以,上述各式相加得 .由此便得 .所以. 由恒等式得由于(),当时,有.因此当时, .这证明了.(2)若,则当充分大时,有.由(),可知(),且数列严格递增.注意到,由(1)的结论得.从而.(3)若,可用代替转化为(2)的情形.定理1与定理2统一称为Stolz定理.例1 利用Stolz定理.证明(1例7)：设.证明.证明 令, ,则严格递增趋于,由定理2,例2 求极限,其中为自然数.解 令, ,由定理2,.（抓大头思想）其中倒数第二式中表示关于的次数为的一个多项式.注 二项式定理在数学分析解题中经常用到，本题只需抓住主要项次展开.例3 求极限,其中为自然数.解 令, ,由定理2,.（抓大头思想）其中倒数第二式分子与分母中的均表示关于的次数为的多项式.注 例3中当不是自然数时,只要(该条件保证),利用定理2,并令,我们有.再利用求函数极限的罗必塔法则,可以求出最后一式的极限为.例4 设.试证:极限存在时, .证明 因,而极限存在,故只需证明第一项趋于零.令,则由条件知,且.于是(应用定理2).例5 设,.证明.证明 由条件.用数学归纳法容易证明对所有自然数有,即.所以数列是严格单调递减有下界的.由单调有界定理,极限存在,设极限值为.在中令得,由此得.由于严格单调递增趋于,根据定理2, .注 此类型题目2011年华中师范大学硕士入学考试数学分析试卷出现过.1.3 利用压缩影像原理和单调有界定理求极限压缩影像原理 设可导且,是常数.给定,令.证明序列收敛.证明 由拉格朗日中值定理，得.其中介于之间.故对任意自然数,（,).由柯西收敛准则收敛.注 (1)利用压缩影像原理必须保证是否保持在成立的范围之内.(2) 称为压缩映射(因为) 例1 (1例11)：设,求极限.解 令(),则.又(),故称为压缩映射.由压缩影像原理, 收敛.再对递推公式,两边取极限即可. 例2 (1例13)：设是正数,对任意自然数,令.证明. 证明 令(),则.又(),从而有.故称为压缩映射.由压缩影像原理, 收敛.再对递推公式,两边取极限即可.注 本题还可以利用单调有界定理.例3 设,当时, .求.解 （法一）压缩映射原理 令(),则.又(),从而有.故称为压缩映射.由压缩影像原理, 收敛.再对递推公式,两边取极限结合得.（法二）单调有界定理 显然.由于与,所以,即单调递减且有下界.故极限存在,令.由递推关系式得.解得,即.例4 证明序列2, ,收敛,并求其极限.解 从序列特征可以看出,相邻两项的关系是 (1).（法一）压缩映射原理 令(),则.又(),从而有.故称为压缩映射.由压缩影像原理, 收敛.再对递推公式,两边取极限结合得.（法二）变量代换方法 因此,设收敛,则极限满足方程.又,所以.令 (2).(2)代入(1), (3).则将满足(1)的序列的问题,转化为满足(3)的序列的问题.事实上, ,.由(3)利用数学归纳法,易证,即.例5 设, .求.解 容易证明单调递增.现证对任意自然数,.当时显然成立.归纳假设.则.由单调有界定理, 有极限.设.对两边取极限得.解得.由于,故得.例6 设,证明收敛.证明 由的定义, .先证是单调递减的.要证,只需证,即证.而恒成立.再证是单调递减的.由于单调递减趋于,故.取对数得,.所以这证明了单调递减.最后证有下界0.又由于单调递增趋于,可得不等式.因此.所以,由单调有界定理,收敛.设,这里称为Euler常数.可以证明.注 1. ，其中.2. 是单调递减的也可以利用的导函数小于零来证,或者借助于不等式：,即 来证.3. 类似可以证明是单调递增的.例7 设,且对任意自然数,其中.求.解 由于,与故与同号.因此当时有,此时递增有上界;当时有,此时递减有下界.所以收敛,设.则.因为,解得,即. 例8 设, .求.解 若极限存在,设为,则,.因,.若,则;若,则.即在的左右来回跳动,而知: , (1).若收敛于,则,也收敛于.猜想:是否在左端单调递增到,在右端单调递减到.下面来考察的符号. (2).式(1),(2)表明以为上界, 以为下界.因此二子列收敛.记,.在式及中令,有,.所以.既然,故.注 此题等同于下面题目：设为斐波那契(Fibonacci)数列，又称兔子数列，即,记.求.1.4 求函数极限的几种方法一、 利用函数的连续性求极限定理 (复合函数求极限定理) 设函数在连续,函数有性质,则.推论 设,则.证明 由复合函数求极限定理, 例1 求极限解 令,则当时.解得.故.注 此例中取,得数列极限, .此外,其中.例2 求极限解 令,则().由于,所以.例3（例2推广）已知且.求证证明 由条件可得其中,.于是，().令,则().由于,（由例2中的注）所以.注 此题目为2009年合肥工业大学硕士入学考试数学分析试题.例4 求极限.解 .由于,所以.例5 求极限.解 注意到（利用等价代换或者洛必达法则）,我们有.注 .练习 证明 (1) ; (2) .二、利用微分学方法(LHospital法则,Taylor公式)求极限例6 求极限.解 由导数公式得由LHospital法则得.例7 求极限.解 利用LHospital法则与等价无穷小代换得(等价无穷小代换) (化简) (LHospital法则) .例8 设. 证明（1）；（2）.证明 （1）由条件.由,得对所有自然数成立，且当时，必有.又有.所以数列是严格单调递减有下界的.由单调有界定理,极限存在,设极限值为.在（第二个等式成立是因为：当时，）中，令得,由此得.（2）由于严格单调递增趋于,根据Stolz定理, =3.这里.注 此题目为2011年华中师范大学硕士入学考试数学分析试题.例9 求极限. 解 由指数函数的连续性与LHospital法则得.其中表示指数函数.注 推广.例10 求极限.解 原极限可化简为. (*)(*)式中分母的极限为,因此只要求分子的极限.(利用代换) (例6)因此.例11 设在上连续,且,求数列极限解 将数列极限转化为函数极限,然后利用LHospital法则 (变量代换)(将换成连续变量)(LHospital法则) .练习 设在上连续,且,求数列极限 (答案)注 本题利用了最朴素的数学思想换元法,这在解题中经常用到.例12 求极限.解 由LHospital法则得，练习 求极限 (答案1)例13 求极限,其中连续可导, .解 由条件知，.再由LHospital法则得，（LHospital法则）（）.例14 已知,求解 由LHospital法则，已知条件可化为.此时，必有.否则，若，则,矛盾！故.又,故.例15 求极限.解 利用Taylor公式 ,我们有.例16 求极限.解 利用Taylor公式 ,我们有.三、利用定积分求极限定理2 (1)若在上可积,则.(2) 若在内单调,且积分存在(可以是非正常积分),则(当0是瑕点时) (当1是瑕点时).(3) 若在内单调递减,且积分存在,则.证明 (1)由定积分定义直接得.(2)当在上可积时结论显然成立.设是非正常积分,不妨设0是瑕点并设在内单调递减,显然有 .对求和得.令,注意到,得.(3) 由于在内单调递减,对任意正数有. 对求和得.令得.再令得.例17 求极限,其中是大于