人教A版选修21 2.2.1椭圆及其标准方程 课件（37张）.pptx

2 2椭圆 2 2 1椭圆及其标准方程 1 2 3 1 椭圆的定义平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距 名师点拨1 由椭圆的定义知 椭圆就是集合p m mf1 mf2 2a 其中2a f1f2 2 在椭圆定义中 要求常数必须大于两定点f1 f2之间的距离 这是椭圆定义中非常重要的一个条件 可以验证 如果这个常数等于两定点f1 f2之间的距离 动点的轨迹将是一条线段 如果这个常数小于两定点f1 f2之间的距离 动点的轨迹将不存在 因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时 务必注意这一隐含的条件 1 2 3 做一做1 1 下列说法中 正确的是 a 到点m 3 0 n 3 0 的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆b 到点m 0 3 n 0 3 的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆c 到点m 3 0 n 3 0 的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆d 到点m 0 3 n 0 3 的距离相等的点的轨迹是椭圆 1 2 3 解析 1 由题意及椭圆定义知 只有c项正确 f1 0 2 与f2 0 2 的距离之和等于10 且 f1f2 4 10 所以根据椭圆的定义知点p的轨迹是以f1 0 2 与f2 0 2 为焦点的椭圆 答案 1 c 2 椭圆 1 2 3 2 椭圆的标准方程 1 2 3 名师点拨1 椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程 所谓标准位置 就是指椭圆的中心在坐标原点 椭圆的对称轴为坐标轴 大小都相同 都有a b 0 a2 b2 c2 不同点是 两种椭圆的位置不同 它们的焦点坐标也不同 3 给出椭圆方程 m 0 n 0 判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是 椭圆的焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大 椭圆的焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大 这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法 1 2 3 轴上 焦点坐标为 2 已知a 5 c 2 焦点在y轴上 则椭圆的标准方程为 解析 1 因为10 6 所以焦点在x轴上 且a2 10 b2 6 所以c2 10 6 4 c 2 故焦点坐标为 2 0 和 2 0 1 2 3 3 点与椭圆的位置关系 1 根据椭圆的定义判断点m x0 y0 与椭圆的位置关系如下 mf1 mf2 2a 点m在椭圆外部 1 2 3 a 点在椭圆c上b 点在椭圆c内c 点在椭圆c外d 无法判断 答案 b 1 2 3 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆 2 椭圆的焦点只能在坐标轴上 4 两种椭圆的标准方程中 有时a b 0 有时b a 0 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对椭圆定义的理解 例1 已知命题甲 动点p到两定点a b的距离之和 pa pb 2a 其中a为大于0的常数 命题乙 点p的轨迹是椭圆 则命题甲是命题乙的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分且必要条件d 既不充分也不必要条件思路分析根据椭圆的定义 特别是定义中对常数的要求进行推理判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 若点p的轨迹是椭圆 则一定有 pa pb 2a a 0 为常数 所以甲是乙的必要条件 反过来 若 pa pb 2a a 0 为常数 当2a ab 时 点p的轨迹是椭圆 当2a ab 时 点p的轨迹是线段ab 当2a ab 时 点p的轨迹不存在 所以甲不是乙的充分条件 综上可知 甲是乙的必要不充分条件 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟由椭圆定义知 点的集合p m mf1 mf2 2a 其中 f1f2 2c 表示的轨迹有以下三种情况 1 当a c时 集合p表示椭圆 2 当a c时 集合p表示线段f1f2 3 当a c时 集合p表示空集 因此在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时 一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系 由于椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形 因此可用三角形两边之和大于第三边来联系记忆这一关系 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1到两定点f1 2 0 和f2 2 0 的距离之和为4的点m的轨迹是 a 椭圆b 线段c 圆d 以上都不对解析 因为 mf1 mf2 f1f2 4 所以点m的轨迹为线段f1f2 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对椭圆标准方程的理解 a 9 25 b 9 8 8 25 c 8 25 d 8 2 若方程x2 3my2 1表示焦点在x轴上的椭圆 则实数m的取值范围是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 答案 4 0 0 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求椭圆的标准方程 例3 根据下列条件 求椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别为 4 0 和 4 0 且椭圆经过点 5 0 2 焦点在y轴上 且经过两个点 0 2 和 1 0 思路分析 1 设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程 再根据条件求出a b的值 即可求得方程 2 设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程 再根据条件求出a b的值 即可求得方程 3 焦点位置不确定 可以分两种情况分别求解 也可直接设所求椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下 1 先确定焦点位置 2 设出方程 3 寻求a b c的等量关系 4 求a b的值 代入所设方程 2 当焦点位置不确定时 可设椭圆方程为mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 因为焦点位置包括焦点在x轴上 mn 两种情况 所以可以避免分类讨论 从而简化运算 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3根据下列条件 求椭圆的标准方程 2 经过点 2 3 且与椭圆9x2 4y2 36有共同的焦点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽视椭圆标准方程的条件致误a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 易错分析解答本题往往会漏掉m 2 8 m而致误 所以2 m 8且m 5 因此应为必要不充分条件 故选b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得在椭圆的标准方程中 分母都大于零且不相等 在解题时 不仅要注意分母都大于零 还要注意分母应该不能相等 否则该方程就变成了圆的方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 答案 3 4 4 5 1 2 3 4 5 1 已知f1 f2为两定点 f1f2 6 动点m满足 mf1 mf2 16 则动点m的轨迹是 a 椭圆b 直线c 圆d 线段解析 因为 mf1 mf2 16 f1f2 所以动点m的轨迹是椭圆 答案 a 1 2 3 4 5 2 椭圆的两个焦点分别为f1 8 0 f2 8 0 且椭圆上一