人教A版选修21 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件（48张） (1).ppt

第三章空间向量与立体几何 3 1空间向量及其运算3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 1 了解空间向量的正交分解的含义 2 掌握空间向量的基本定理 并能用空间向量基本定理解决一些简单问题 3 掌握空间向量的坐标表示 能在适当的坐标系中写出向量的坐标 新知视界1 空间向量基本定理如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p xa yb zc 2 基底的概念如果三个向量a b c不共面 那么空间所有向量组成的集合就是 p p xa yb zc x y z r 这个集合可以看作是由向量a b c生成的 我们把 a b c 叫做空间的一个基底 a b c叫做基向量 空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 3 空间向量的正交分解及其坐标表示设e1 e2 e3为有公共起点o的三个两两垂直的单位向量 我们称它们为单位正交基底 以e1 e2 e3的公共起点o为原点 分别以e1 e2 e3的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系o xyz 那么 对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移 使它的起点与原点o重合 2 向量可以平移 向量p在坐标系中的坐标惟一吗 提示 惟一 在空间直角坐标系中 向量平移后 其正交分解不变 故其坐标也不变 尝试应用1 设命题p a b c是三个非零向量 命题q a b c 为空间的一个基底 则命题p是命题q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 当非零向量a b c不共面时 a b c 可以当基底 否则不能当基底 当 a b c 为基底时 一定有a b c为非零向量 答案 b 2 已知 a b c 是空间的一个基底 则可以和向量p a b q a b构成基底的向量是 a ab bc a 2bd a 2c 答案 d 3 设 i j k 是空间向量的一个单位正交基底 则向量a 3i 2j k b 2i 4j 2k的坐标分别是 解析 i j k是单位正交基底 故根据空间向量坐标的概念知a 3 2 1 b 2 4 2 答案 3 2 1 2 4 2 解析 如图1 g为 abc重心 e为ab中点 答案 3 典例精析类型一基底的概念 例1 设x a b y b c z c a 且 a b c 是空间的一组基底 给出下列向量组 a b x x y z b c z x y a b c 其中可以作为空间一组基底的向量组有 a 1个b 2个c 3个d 4个 分析 能否作为空间的一组基底 即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面 由于a b c是不共面向量 所以可以构造图形 利用平行六面体中从某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直观判断 答案 c 点评 1 充分利用一些常见的几何体 如 长方体 正方体 平行六面体 四面体等可以帮助我们进行相关的判断 利用向量计算来证明 一般选取适当的一组基底 寻找关系 易得结果 2 三个向量不共面是这三个向量构成空间一组基底的充要条件 迁移体验1已知a b c是不共面的三个向量 则下列选项中能构成一组基底的一组向量是 a 2a a b a 2bb 2b b a b 2ac a 2b b cd c a c a c解析 因为a b c不共面 易知a 2b b c不共面 故应选c 答案 c 点评 在几何体中 根据图形的特点 选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底 或选择有公共起点且关系最明确 如夹角或线段长度 的三个不共面的向量作为基底 这样更利于解题 答案 d 分析 空间向量的坐标源于向量的正交分解 如果把向量a写成xi yj zk 则a的坐标为 x y z 还可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向量的坐标 点评 用坐标进行向量的运算 关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来 这里有两个方面的问题 一是如何恰当地建系 一定要分析空间几何体的构造特征 选合适的点作原点 合适的直线和方向作坐标轴 一般来说 有共同的原点 且两两垂直的三条数轴 只要符合右手系的规定 就可以作为空间直角坐标系 二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标 这里又有两种方法 其一是运用基底法 把空间向量进行正交分解 其二是运用投影法 求出起点和终点的坐标 思悟升华空间向量基本定理表明 用空间三个不共面的已知向量组 a b c 可以线性表示出空间任意一个向量 而且表示的结果是唯一的 我们在用选定的基向量表示指定的