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线性代数教案 第 2 章 矩阵 第第 2 章章 矩阵 共矩阵 共 8 学时 学时 一 教学目标与基本要求一 教学目标与基本要求 1 掌握矩阵的定义及矩阵的加减 数乘及矩阵的乘法的运算 2 知道矩阵的转置 对称阵 反对称阵 行列式的概念及运算 3 了解分块矩阵的定义及其运算 4 掌握逆矩阵的概念及运算 5 会利用矩阵的伴随及初等变换求矩阵的逆 二 教学内容与学时分配二 教学内容与学时分配 1 矩阵的概念 2 矩阵的基本运算 2 学时 3 一些特殊矩阵 4 分块矩阵 2 学时 5 矩阵的秩 6 初等变换与初等方阵 2 学时 7 方阵的逆 2 学时 三 教学内容的重点及难点三 教学内容的重点及难点 重点 矩阵的初等变换及矩阵的逆 难点 矩阵的逆 相应于矩阵性质的综合性的证明题 四 教学内容的深化与拓宽四 教学内容的深化与拓宽 分块矩阵的应用 五 思考题与习题五 思考题与习题 思考题 将可逆矩阵分解成初等方阵之积 习题 2 3 2 4 6 7 13 1 3 14 1 15 2 4 16 1 3 17 21 25 27 六 教学方式与手段六 教学方式与手段 本章主要是矩阵的一些基本运算 以讲授为主 在概念 性质等综合运用时注意 用研讨式教学 1 线性代数教案 第 2 章 矩阵 讲稿内容讲稿内容 2 1 矩阵的概念矩阵的概念 定义定义 由排成的一个数表 这个表 称为的 ij anm个数 列行nm mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 列行nm矩阵矩阵 简称矩阵 记为nm nmij aA 组成表中的个数 称为矩阵的元素 如为矩阵的第i行 nm ij aj 列的一个元素 元素为实数的矩阵称为实矩阵实矩阵 元素为复数的矩阵称为复矩阵复矩阵 1 m的矩阵称为行矩阵行矩阵 112111nn aaaA 1 21 11 1 m m a a a A 1 n的矩阵称为列矩阵列矩阵 nm 时称为阶m方阵方阵 如单位阵 如单位阵E或或I 元素全为 0 的矩阵称为零矩阵零矩阵 记为 0 或O 如果两个矩阵的行列数相同 称它们是同型矩阵同型矩阵 在同型矩阵 nmijnmij bBaA 中若对应的元素相同 即 则称 矩阵 ijij ba BA与相等相等 即 ijij banmBA 2 1 矩阵都是 注意注意行列数不同的零矩阵 虽然都用 0 表示 但它们不相等 2 线性代数教案 第 2 章 矩阵 2 2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 2 2 1 矩阵的加法矩阵的加法 定义定义 如果 ijij bBaA 都是nm 矩阵 则矩阵的和记为BA与BA 并规定 对应元素相加对应元素相加 nmijij baBA 举例 显然矩阵的加法满足下面运算规律运算规律 1 交换律ABBA 2 结合律 CBACBA 已知称为矩阵A的 ij aA ij aA 负矩阵负矩阵 有了负矩阵后可定义矩阵的 减法 A BAB 对应元素相减 对应元素相减 2 2 2 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法 定义定义 数 与矩阵的乘积记为 ij aA AA或 并规定 ij aAA 即乘矩阵中的每一个元素 反之可知 可以提出矩阵中每个元 素的公因子 注意 数与矩阵的乘法和数与行列式乘法的不同 注意 数与矩阵的乘法和数与行列式乘法的不同 数与矩阵的乘法满足下列运算规律运算规律 1 结合律 A AA 2 矩阵对数的分配律AAA 3 数对矩阵的分配律BABA 例例 设有矩阵 23 111 1052 931 501 702 132 BABA 求 2 2 3 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 定义定义 设 则称 nsijsmij bBaA ijm n ABCc 为矩阵的乘积 BA与 3 线性代数教案 第 2 章 矩阵 其中 sjisjijiij bababac 2211 即矩阵即矩阵C中的元素是中的元素是 ij cA中的第 行与中的第 行与iB中的第中的第 j 列对应元素乘积之和列对应元素乘积之和 例例 设 求 3231 2221 1211 232221 131211 bb bb bb B aaa aaa A AB 矩阵与矩阵的乘法满足下列运算规律运算规律 假设下面的运算是可行的 CAB BCA 1 结合律 2 分配律ACABCBA 左分配 CABAACB 右分配 3 结合律 BABAAB 矩阵的方幂矩阵的方幂 设A为方阵 定义 则 AAAAA kk 11 kllklklk AAAAA 注意这里的为正整数注意这里的为正整数 lk 注意 注意 1 矩阵乘法的非交换性 矩阵乘法的非交换性 一般地BAAB kkk BAAB 可从下面三点进行说明 1 乘法AB有意义 但BA没有意义 谈不上相等 如 3224 A B 2 乘法 AB BA均有意义 但不一定是同型矩阵 也谈不上相等 如 2332 AB 3 乘法 AB BA均有意义 也是同型矩阵 但也不一定相等 例如 1611 85 1514 75 32 12 43 21 BAABBA 如果BAAB 则称BA与可换可换 如AEEAE 2 零因子的存在性 零因子的存在性 在矩阵理论中 零矩阵是很特殊的 我们知道 00 00 00 AAAA 注意这里的 0 矩阵不一定是同一个矩阵 4 线性代数教案 第 2 章 矩阵 在数的乘法中 000 baab或 但在矩阵中这种规律是不存在的 如 0 0 00 00 00 11 10 10 BAABBA但 若 则称的左零因子 相应地 称右零因 子 00 0 ABBA但BA是AB是 问 若且能否推出ACAB 0 ACB 如取 21 12 20 10 00 21 CBA 有 CBACABACAB 但即 00 50 00 50 例例 设BAAB 求证 1 2 222 2 BABABA 22 BABABA 进一步地 因可换 则可换 故二项式公式成立 即 BA lk BA nn n n n n n n BACBACBACBA 01100 注EA 0 上例可作结论使用 例例 设A是任意n阶矩阵 而E是阶单位阵 证明 n mm AEAAAEAE 12 例例 计算 110 010 001 n n D 法 1 数学归纳法 法 2 DE 其中 A 2 0 000 000 010 100 010 001 kAEAAEAE k 且 由二项式公式 011 10 010 001 nnn nn n DC EC EAEnA 例例 求与可换的矩阵 300 020 001 B 5 线性代数教案 第 2 章 矩阵 解 设 要使 33 ij aABAAB 即 333231 232221 131211 333231 232221 131211 333 222 32 32 32 aaa aaa aaa aaa aaa aaa 必有0 323123211312 aaaaaa 而可为任意数 332211 aaa 即仍为对角阵 c b a A 00 00 00 2 2 4 矩阵的转置矩阵的转置 定义定义 把矩阵A的行 列 换成同序数的列 行 而得到的新矩阵 叫做A的 转置矩阵转置矩阵 记为 T A 如 322212 312111 3231 2221 1211 aaa aaa A aa aa aa A T 则 一般地 AAT 矩阵的转置满足下面运算规律运算规律 1 2 AA TT TTT BABA 3 4 TT AA TTT ABAB 证 4 设 nsijsmij bBaA mnij TT nmij dDABcCAB 要证 只须证 1 与同型矩阵 显然 2 DC T T CD ijji dc 而 列对应元素乘积之和中第行与中第iBjAcji sijsijij bababa 2211 列对应元素乘积之和中第行与中第jAiBd TT ij 行对应元素乘积之和中第列与中第jAiB jssijiji ababab 2211 显然 ijji dc 6 线性代数教案 第 2 章 矩阵 2 2 5 方阵的行列式方阵的行列式 定义定义 由n阶方阵A的元素位置不变所构成的行列式 叫做方阵方阵A的行列式的行列式 记为 AdetA或 注意方阵与行列式是两个不同的概念 n阶方阵与阶行列式虽然都是个 数按一定方式排列的数表 但行列式是这些数按照一定的运算法则所确定的一个 数 而矩阵仅是一个数表 n 2 n 方阵的行列式满足下列运算规律运算规律 均为n阶方阵 BA 1 AAT 2 AA n 常见的错误AA 3 BABAAB 虽然BAAB 当0A 时 称A为非奇异矩阵非奇异矩阵 否则称A为奇异矩阵奇异矩阵 注注 当且时 m nn m AB mn ABBA 一般不成立 2 2 6 共轭矩阵共轭矩阵 定义 是复矩阵 ij aA ijij aa是的共轭复数 则 ij aA 是的 ij aA 共轭共轭 矩阵矩阵 共轭矩阵满足下列运算规律运算规律 2 BAAB 3 AA 4 TT AA 1 ABAB 主要强调主要强调 矩阵乘法不满足交换律 零因子存在 几个易错的性质 TTT ABAB AA n 7 线性代数教案 第 2 章 矩阵 2 3 一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵 2 3 1 对角阵 数量阵 单位阵对角阵 数量阵 单位阵 对角阵对角阵 除主对角线元素外其它元素全为零的方阵称为对角阵 数量阵数量阵 对角阵中对角线上的元素都相等 单位阵单位阵 数量阵中对角线上的元素全为 1 如 对角阵 数量阵 单位阵 3 2 1 1 1 1 矩阵多项式矩阵多项式 设 nnijm m m aAaxaxaxaaxf 0 2 210 则称为 m mA aAaAaEaAf 2 210 A的一个m次多项式 例例 已知 2 33f xxx 11 23 A 求 f A 反对角阵反对角阵 除反角线上元素外其余元素全为零的方阵称为反对角阵 2 3 2 三角阵三角阵 上三角阵上三角阵 对角线以下的元素全为 0 的矩阵 下三角阵下三角阵 对角线以上的元素全为 0 的矩阵 三角阵三角阵 上三角阵与下三角阵统称三角阵 上 下 三角阵的乘积仍为上 下 三角阵 2 3 3 伴随阵伴随阵 伴随阵伴随阵 由方阵A中各元素的代数余子式所组成的矩阵 nnnn n n AAA AAA AAA A 21 22212 12111 称为A的伴随阵的伴随阵 注意注意 矩阵A中第i行元素的代数余子式在 A 中的第 列 i 容易验证EAAAAA 行列式的展开定理 2 3 4 对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵 设 ijn n Aa 对称阵对称阵 即 称 T AA jiij aa A为对称阵 8 线性代数教案 第 2 章 矩阵 如 111213112131 212223122232 313233132333 T aaaaaa AaaaAaaa aaaaaa 特点 以对角线为对称轴的对应元 素相同 反对称阵反对称阵 AAT 即 111213112131 212223122232 313233132333 T aaaaaa AaaaAaaa aaaaaa 从而有 以对角线为对称轴的对应元素反号 jiij aa 0 ii a 例例 设A是任一方阵 试证明均为对称阵 TT AAAA 结论结论 任意方阵A都可以表为一个对称阵与一个反对称阵之和 事实上 2 1 2 1 TT AAAAA 2 3 5 正交阵正交阵 正交阵正交阵 设A为方阵 若EAAT 或EAAT 则称A是一个正交阵 如 单位阵是正交阵 1212 1212 各行向量或列向量均为单位向量且正交 例例 已知A为正交阵 证明1 A 证 由正交阵的定义知11 2 AAAEAAEAA TTT 例例 设 证 11 11 A 2 1 AA nn 证 1 当时 显然成立 1 nAA 0 2 2 n时 也 成立 AAAA2 22 22 2 2 设成立 即 kn AA kk1 2 3 当时 1 knAAAAAA kkkk 22 11 得证 例例 试证若 2 1 EAB 则满足BB 2 的充分必要条件是EA 2 9 线性代数教案 第 2 章 矩阵 例例 任意奇数阶的反对阵的行列式必为 0 证 由反对称阵的定义知AAAAAAAA nTT 12 1 例例 设A为n阶对称阵 为任意阶阵 则Pn T PAP 为对称阵 例例 设 T AE 其中 为非零1n 矩阵 证明 2 1 T AA 证 2 2 TTTT AEEE T 由得 2 A A02 TTTTTTT EE 0 零矩阵 即 1 因 TT 非零 0 T 零矩阵 故必有10 T 得证 反之 若 则 1 T 2 2 2 TTTTTTT AEEEE T 2 TT EA 注意注意 T 是一个数 T 是一个阶矩阵 n 主要强调主要强调 伴随阵的构成 及EAAAAA 10 线性代数教案 第 2 章 矩阵 2 4 分块矩阵分块矩阵 分块矩阵分块矩阵 用几条纵线和横线把一个矩阵分成若干小块 每一小块称为原矩阵的 一个子矩阵 或子块 以子矩阵为原矩阵的一个元素 就得到分块矩阵 如 2221 1211 34333231 24232221 14131211 AA AA aaaa aaaa aaaa A 333231 232221 131211 34333231 24232221 14131211 AAA AAA AAA aaaa aaaa aaaa A 14131211 34333231 24232221 14131211 AAAA aaaa aaaa aaaa A 分块矩阵的运算 1 加法加法 设 nmijnmij bBaA 用同样的分法把分块为 BA lsls BBAA 则 ls BABA 2 数与分块矩阵的乘法数与分块矩阵的乘法 lsls AAA 3 分块矩阵与分块矩阵的乘法分块矩阵与分块矩阵的乘法 为了使A的子块与B的子块能相乘 分块时 必须要求要求B的行数的分法一致 的行数的分法一致 A矩阵的列数的分法与矩阵的列数的分法与 ktnlijtslmij BbBAaA 则 设 ks cAB 其中 t BAc 1 如 32 232221 131211 43 34333231 24232221 14131211 AAA AAA aaaa aaaa aaaa A 33 333231 232221 131211 54 4544434241 3534333231 2524232221 1514131211 BBB BBB BBB bbbbb bbbbb bbbbb bbbbb B 则 32 311321121111 BABABA AB 4 分块矩阵的转置分块矩阵的转置 把分块矩阵的列换成同序数的行即得到其转置 11 线性代数教案 第 2 章 矩阵 5 特殊分块矩阵的行列式特殊分块矩阵的行列式 分块对角阵 nn nn AAAA A A A A 2211 22 11 则 均为方阵 但 不一定同阶 ii A 注 detdetdetdetdet AoAoEo AB oBoEoB 分块三角阵 0 0 mmmm mmnn nnnn BDB AAABC CDC 或则 行列式性质 6 0 1 0 mmmmmn mmnn nnnn BDB AAA CDC 或则BC 习题 1 1 10 例例 计算7 41 53 21 11 4121 5312 0021 0011 AA 分块反对角阵 1 2 s A A A A 则 12s AA AA 主要强调主要强调 特殊分块矩阵的行列式 12 线性代数教案 第 2 章 矩阵 2 5 矩阵的秩矩阵的秩 定义定义 在矩阵nm A中 取行列交叉点处的个元素 按原来的相对位 置 得到一个阶行列式 称为矩阵 kk 2 k kA的一个阶子式 在knm 矩阵A中共有 个阶子式 k n k mC Ck 定义定义 如果矩阵A有一个r阶子式0 D 并且所有1 r阶子式 如果有 全 等于零 则称为矩阵DA的最高阶非零子式最高阶非零子式 r称为矩阵A的秩 记为 并规定零矩阵的秩为 0 rAR 最高阶非零子式 因1 r阶子式全为零 必有1 r阶以上的子式全为零 所 以r阶子式是最高阶的非零子式 行列式的展开 D 当A为n阶方阵时 若nAR 称A为满秩矩阵 nAR 是称A为降秩 矩阵 易知下列结论成立 1 A为满秩矩阵AA 0是非奇异的 2 T ARAR min m n R Am n 3 0 00 kAR k kAR 例例 求矩阵A的秩 其中 2111 6242 1812 A 解 因存在二阶子式不等于零 所有四个三阶子式全为零 所以 2 AR 例例 设A为四阶矩阵 且 2R A 则 R A 0 因 2R A A的所有三阶以上子式全为 0 故AO 零矩阵 进一步有 0 nR An R A 1R An 13 线性代数教案 第 2 章 矩阵 2 6 初等变换与初等方阵初等变换与初等方阵 矩阵的初等变换包含初等行变换各初等列变换 定义定义 下列三种变换称为矩阵的初等行 列变换 行变换 列变换 1 1 ji rr ji cc 2 0 kkri 2 0 kkci 3 3 ji krr ji kcc 定义定义 如果一个矩阵A经过有限次初等变换变成B 则称矩阵A与矩阵B等等 价价 记为BA 等价具有下面性质 1 反身性AA 2 对称性AB BA 3 传递性CA CBBA 定理定理 若BA 则 即 BRAR 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 证明 由行列式的性质知 如果A中有一个r阶子式不等于 0 对进行 初等变换后仍不等于 0 如果 DD DA有一个r阶子式等于 0 对进行初等变换 后仍等于 0 总之 DD DA中有一个r阶子式不等于 0 对A进行初等变换必有一 个相应的r阶子式不等于 0 所以矩阵的初等变换不改变矩阵的秩矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 我们通常利用矩阵的初等变换把矩阵化为阶梯形来求矩阵的秩 例 00000 31000 11200 12011 35222 23211 07033 12011 初等行变换 A行阶梯形行阶梯形 全 为零的行在非零行的下面 且每一个非零行第一个不等于 0 元素的下面元素全部 是零 00000 31000 20100 70011 继续初等行变换 行最简形行最简形 首先是行阶梯形 每一个非 零行的第一个非零元素为 1 且含这个元素的列中其他元素是零 3 10000 010000 0010000 00000 E 初等列变换 标准形 标准形唯一标准形 标准形唯一 3 AR 行阶梯形中非零行的行数 14 线性代数教案 第 2 章 矩阵 定理定理 任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化成行阶梯形及行最简 行 且矩阵的秩等于阶梯形非零行的行数 任意矩阵与自已的标准形等价 进一步有 1 BA 则必有相同的标准形 即 BA B E A r 00 0 rR AR B 2 A为满秩矩阵 则EA 例例 设 求 1111 011 234 3517 b A a R A 解 3132 4142 2 32 111111111111 011011011 23401220012 3517022400042 rrrr rrrr bb A aaa b b b 1 当1 2ab时 4 R A 2 当1 2ab时 2 R A 3 当1 2ab 或当1 2 ab 时 3 R A 15 线性代数教案 第 2 章 矩阵 初等方阵初等方阵 定义定义 由单位阵经过一次初等变换所得到的方阵称为初等方阵初等方阵 3 种初等变换对应 3 类初等方阵 1 对调两行或两列 行 行 j i jiE 1 1 01 1 1 10 1 1 2 以数0 k乘某行或某列 行ikkiE 1 1 1 1 3 以数k乘某行或某列加到另一行或列 行 行 j ik ikjE 1 1 1 1 易知 1 0 1E i jE i kkE j k i 故初等方阵的行列式均不等于 0 故初等方阵是满秩矩阵 定理定理 对一个的矩阵nm A作初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的 16 线性代数教案 第 2 章 矩阵 mm 的初等方阵 对A作初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的的初 等方阵 可直接验证 nn 定理定理 A为满秩矩阵 A能表示成一些初等方阵的乘积 证明 必要性 A为满秩的 则 即单位阵经过有限次初等 变换可变为 AEEA A 亦即存在初等方阵使 从而 l PPP 21 APEPPP lrr 11 l PPA 1 充分性 设A能表示成一些初等方阵的乘积 由于初等方阵均是满秩的 其 对应的行列式不等 0 所以0 A 故A是满秩的 推论推论 两个nm 矩阵等价BA 存在阶的满秩矩阵及阶的满秩矩阵 使 mPn QBPAQ 证明 因BA 所以存在阶初等方阵及阶初等方阵 使 即存在阶的满秩矩阵 m r PP 1 n l QQ 1 r PP 1 BQAQ1 l mP及阶的满秩矩阵Q使 n BPAQ 由定理知 为阶初等方阵 r PPP 1 r PP 1 m l QQQ 1 为 阶初等方阵 所以 l QQ 1 n r PP 1 BQAQ l 1 故BA 例例 设矩阵 且 111 11 111 111 k k A k k 1 3R A 则k 3 解 因 不是满轶矩阵 3R A 0 3 Akk1 当时 当时1k 1R A 3k 3 R A 例例 20072008 010123001 100456010 001789100 456 123 789 注意 E i jE i jE 可直接验证 或理解为在矩阵 E i j左边乘了 E i j 例例 若A为m矩阵 n R Ar 则存在阶满秩矩阵及n阶满秩矩阵 使 mPQ 17 线性代数教案 第 2 章 矩阵 0 00 r E PAQ 证明 因 由推论即得 0 00 r E A 例例 设均为满秩矩阵 则 P Q R PAQR PAR AQR A 内容要点内容要点 若BA 则 BRAR 即矩阵的初等变换不改变矩阵的秩矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 对一个的矩阵nm A作初等行变换就相当于在A的左边乘上相应 的的初等方阵 对mm A作初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的的 初等方阵 nn A为满秩矩阵 A能表示成一些初等方阵的乘积 主要计算主要计算 利用初等变换求矩阵的秩 18 线性代数教案 第 2 章 矩阵 2 7 方阵的逆方阵的逆 在实数理论中 我们知道 11 3 3331 在矩阵理论中有没有类似的关 系呢 定义定义 对于阶方阵nA 如果存在一个阶方阵nB使EBAAB 则称A是 可逆的 并称B为为A逆逆 记为 1 AB 代回得 11 AAA AE 从方阵逆的定义 我们需要讨论下面一些问题讨论下面一些问题 1 是否方阵均有逆 如果不是 那么矩阵可逆的条件是什么 2 方阵的逆若存在 是否唯一 方阵的逆有何性质呢 3 如何求可逆矩阵的逆阵呢 下面我们一一回答上面提出的问题 容易验证 1 1111 ikjEikjE k iEkiEjiEjiEEE 如取 100 810 001 2 8 3 100 810 001 2 8 3 EE则 显然有 100 010 001 100 810 001 100 810 001 2 8 3 2 8 3 EEE 从上面可知 初等方阵的逆仍为同类型的初等方阵初等方阵的逆仍为同类型的初等方阵 又如0矩阵没有逆 没有逆 10 00 由逆阵的定义可得下面的性质性质 性质性质1 若A可逆 则A的逆惟一 证明 设均是CB A的逆 即ECAACEBAAB 从而CECCBAACBBEB 性质性质2 若A可逆 则也可逆 且 1 A 11 AA 性质性质3 若A可逆 0 则A 也可逆 且 1 11 AA 性质性质4 若是同阶可逆方阵 则BA AB可逆 且 111 ABAB 性质性质5 若A可逆 则也可逆 且 T A 11TT AA 19 线性代数教案 第 2 章 矩阵 定理定理 A可逆0 A 当A可逆时 1 1 A A A 证明 必要性 A可逆时 由定义知 01 11 AAAEAA 从上式还可得到 11 1 A A A 充分性 由于EAA A A A AEAAAAA A 11 0 由定义知A可 逆 且有 1 1 A A A 推论推论1 若 1 ABEBAEAB则或 证 由AABAEAB 01可逆 111 AABABAAEBB 推论推论2 若A是正交阵 则 1T AA EAAT 推论推论3 设A是n阶方阵 则下面5条等价 1 A非奇异阵 2 A是满秩矩阵 3 A是可逆矩阵 4 A的标准 形是单位阵E 5 A等于有限个初等方阵的积 当0 A时 我们同样可以定义矩阵的负方幂 定义定义 为正整数 kAAEA kk 10 于是当A可逆时 对任意方阵的整数幂有意义 kllKlklk AAAAA 例例 设分别是m阶 阶可逆矩阵 求矩阵BA nX使得 nm CAXB 例例 设n阶矩阵A可逆 求证可逆 并求 A 1 AA 及 证 证 AAAAAEAAA n 00可逆 且 1 n AA 由上式还可得到A A AEAA A 1 1 1 例例 设均为n阶可逆方阵 求证 BA 20 线性代数教案 第 2 章 矩阵 1 2 ABAB 2 AAA n 3 11 AA 4 TT AA 证 1 EABABAB 11 111 ABA A B B BAABBAABABAB 2 EAAA 1 21 1 AAA A AAAA nn 3 只须证 1 A AE 利用 1 得 11 AAA AEE 另 由 1 1 A A A得 1 AA A 故 1 111 1 AAAA A 所以 11 1 A AA AA A E 4 由伴随阵的定义即可得 例例 设 MMMMEPMMnmM TTT1 又可逆矩阵是 试证 1 PPT 2 PP 2 证证 1 TT T TTTT MMMMEP 1 PMMMME TTT 1 2 12 MMMMEP TT 1M MMME TT MMMME TT1 MMMM TT1 1M MMM TT PMMMM TT 1 例例 设 1 0 Abcad dc ba A求且 1 1 ac bd A A 作结论使用 21 线性代数教案 第 2 章 矩阵 例例 求方阵的逆阵 343 122 321 A 法法1 因02 A A的逆存在 222 563 462 332313 322212 312111 AAA AAA AAA 222 563 462 2 11 1 A A A 法法2 设A的逆阵为 由等式 ij bB 333231 232221 131211 343 122 321 bbb bbb bbb AB 100 010 001 343343343 222222 323232 332313322212312111 332313322212312111 332313322212312111 bbbbbbbbb bbbbbbbbb bbbbbbbbb 解方程组即得 ij b 法法3 因A可逆 存在初等方阵 使 l PPP 21l PPPA 21 从而有下列两成立 EAPPP ll 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AEPPP ll 由于初等方阵的逆仍为初等方阵 所以上面第一式说明 A经过一系列初等 行变换行变换变为单位阵 第二式说明 单位阵经过同样的初等行变换可变为 1 A 这就得到用初等变换求方法 1 A 1 AEEA 初等行变换 同理 1 A E E A 初等列变换 因 111 11ll AP PPE 111 11ll 1 EP PPA 111100 012520 011201 103620 012520 001321 100343 010122 001321 21 23 12 13 2 3 rr rr rr rr 111100 25323010 231001 111100 563020 231001 2 1 5 2 2 3 32 31 r r rr rr 22 线性代数教案 第 2 章 矩阵 所以 111 25323 231 1 A 思考题思考题 将可逆矩阵A分解为初等方阵的乘积 其中 023 111 021 A 解 800 310 201 080 130 021 023 111 021 3 2 3 3 1 2 1 1 EEE A 右乘左乘 E EE E 1 2 3 2 3 3 8 1 3 100 310 201 左乘 左乘 即EAEEEEEE 3 2 2 1 1 3 3 1 8 1 3 2 3 3 1 2 3 所以 3 2 1 2 3 2 3 3 8 1 3 3 3 1 2 1 1 111111 EEEEEEEA 010 100 001 100 10 201 10 310 001 800 010 001 103 010 001 100 011 001 注 表示式不惟一 例例 容易验证下列矩阵的逆成立 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 s s A A A A A A A 特别地 nn 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 A A A A A A A s s s 23 线性代数教案 第 2 章 矩阵 3 为可逆方阵 1 111 1 1 00C DCBB C DB ACB 求法 设有使 则 WZ YX s r E E WZ YX C DB 0 0 0 sr ECWCZDWBYEDZBX 0 0 所以 1111 0 DCBYBXCWZ 4 111 1 1 1 0 CDBC B CD B A 例例 设 求 1000 2100 3210 4321 A 1 A 解 C DB A 0 1000 2100 3210 4321 而 12 01 10 21 10 21 1111 DCBCB 所以 1000 2100 1210 0121 1 A 例例 0 0