人教A版选修22 1.3.1函数的单调性与导数 课件（31张 ).ppt

1 3 1函数的单调性与导数 单调性的定义 对于函数y f x 在某个区间上单调递增或单调递减的性质 叫做f x 在这个区间上的单调性 这个区间叫做f x 的单调区间 知识回顾 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间d上是增函数 知识回顾 判断函数单调性有哪些方法 比如 判断函数的单调性 图象法 减 增 如图 思考 那么如何求出下列函数的单调性呢 1 f x 2x3 6x2 7 2 f x ex x 1 3 f x sinx x 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 例如 2x3 6x2 7 是否有更为简捷的方法呢 下面我们通过函数的y x2 4x 3图象来考察单调性与导数有什么关系 2 再观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 x y o x y o x y o x y o y x y x2 y x3 观察下面一些函数的图象 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 结论 在某个区间 a b 内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 那么函数在这个区间内单调递减 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 函数单调性与导数正负的关系 注意 应正确理解 某个区间 的含义 它必是定义域内的某个区间 课本思考 思考1 如果在某个区间内恒有 那么函数有什么特性 几何意义 关系 思考2 结合函数单调性的定义 思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与导数正负的关系 思考 若函数f x 在区间 a b 内单调递增 那么f x 一定大于零吗 例1 已知导函数的下列信息 当10 当x 4 或x 1时 0 当x 4 或x 1时 0 则函数f x 图象的大致形状是 a b c d d 导函数f x 的 与原函数f x 的增减性有关 正负 1 应用导数求函数的单调区间 选填 增 减 既不是增函数 也不是减函数 1 函数y x 3在 3 5 上为 函数 2 函数y x2 3x在 2 上为 函数 在 1 上为 函数 基础训练 应用举例 增 增 减 求函数的单调区间 变1 求函数的单调区间 理解训练 解 的单调递增区间为 单调递减区间为 变3 求函数的单调区间 解 解 注意 单调区间不可以并起来 总结 当遇到三次或三次以上的 或图象很难画出的函数求单调性问题时 应考虑导数法 纳 1 什么情况下 用 导数法 求函数单调性 单调区间较简便 2 试总结用 导数法 求单调区间的步骤 归 练习 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 设是函数的导函数 的图象如右图所示 则的图象最有可能的是 a b c d c 例3如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 a b c d h t o h t o h t o h t o 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 如图 函数在或内的图象 陡峭 在或内的图象平缓 练习 2 函数的图象如图所示 试画出导函数图象的大致形状 思考题 a 求参数的取值范围 例2 解 由已知得 因为函数在 0 1 上单调递增 在某个区间上 f x 在这个区间上单调递增 递减 但由f x 在这个区间上单调递增 递减 而仅仅得到是不够的 还有可能导数等于0也能使f x 在这个区间上单调 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 例3 方程根的问题求证 方程只有一个根 提示 运用导数判断单调性 根据函数的单调性比较函数值大小 b 2 函数y a x3 x 的减区间为则a的取值范围为 a a 0 b 11 d 0 a 1 a 证明 令f x e2x 1 2x f x 2e2x 2 2 e2x 1 x 0 e2x e0 1 2 e2x 1 0 即f x 0 f x e2x 1 2x在 0 上是增函数 f 0 e0 1 0 0 当x 0时 f x f 0 0 即e2x 1 2x 0 1 2x e2x 2 当x 0时 证明不等式 1 2x e2x 分析 假设令f x e2x 1 2x f 0 e0 1 0 0 如果能够证明f x 在 0 上是增函数 那么