人教A版 选修12 合情推理 教案.docx

合情推理 核心必知 1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材p22p29的内容，回答下列问题(1)哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没出现反例于是提出猜想“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”(2)观察教材p24p25的几个实例，这几个推理是归纳推理吗？它们有什么共同特点？提示：这几个推理不是归纳推理它们的共同特点是两类事物间的推理2归纳总结，核心必记(1)归纳推理归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理的过程：问题思考 (1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠(2)，由此猜想：(m为正实数)上述推理是归纳推理还是类比推理？提示：归纳推理(3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行此推理是归纳推理还是类比推理？提示：类比推理课前反思(1)归纳推理的定义和特征各是什么？ (2)类比推理的定义和特征各是什么？ (3)归纳推理和类比推理有什么不同？ 角度一：数(式)中的归纳推理讲一讲1(1)观察下列各式：1312，132332，13233362照此规律，第n个等式可为_(2)(链接教材p23例2)若数列an的通项公式an(nn*)，记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的表达式尝试解答 (1)左边各项幂的底数右边各项幂的底数11，1,23，1,2,36，1,2,3,410，由左、右两边各项幂的底数之间的关系：11，123，1236，123410，可得一般性结论：132333n3(123n)2，即132333n32.(2)an，a1，a2，a3.f(1)1a1，f(2)，f(3).推测f(n).答案 (1)132333n32 (1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论(2)数列中的归纳推理的方法：通过所给的条件求得数列中的前几项；观察数列的前几项，寻求项与项数之间的规律，猜测数列的通项公式并加以证明 练一练1观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第n个等式可为_解析：观察规律可知，第n个式子为12223242(1)n1n2(1)n1.答案：12223242(1)n1n2(1)n1角度二：图形中的归纳推理讲一讲2(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )a26 b31 c32 d36(2)把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是_尝试解答 (1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.故选b.(2)第七个三角形数为123456728.答案 (1)b (2)28 解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化练一练2我们把1,4,9,16,25，这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)则第n个正方形数是( )an(n1) bn(n1)cn2 d(n1)2解析：选c 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2. 讲一讲3三角形与四面体有下列共同的性质：(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形两边之和大于第三边三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心三角形的面积s(abc)r(r为三角形内切圆的半径) 尝试解答 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表： 三角形四面体三角形两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面面积的，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心三角形的面积为s(abc)r(r为三角形内切圆的半径)四面体的体积为v(s1s2s3s4)r(s1、s2、s3、s4为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径) (1)类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)(2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有：平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有：实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质实数满足的运算律与向量满足的运算律等差数列与等比数列的定义及性质圆锥曲线的定义及性质 练一练3如图所示，在abc中，射影定理可表示为abcos cccos b，其中a，b，c分别为角a，b，c的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解：如图所示，在四面体pabc中，s1，s2，s3，s分别为pab，pbc，pac，abc的面积，分别为侧面pab，侧面pbc，侧面pac与底面abc所成二面角的大小，猜想：在四面体pabc中，ss1cos s2cos s3cos . 课堂归纳感悟提升 1本节课的重点是归纳推理和类比推理的应用难点是对归纳推理、类比推理结论的真假判定2本节课要重点掌握的规律方法(1)数(式)中的归纳推理，见讲1；(2)图形中的归纳推理，见讲2；(3)类比推理的应用，见讲3. 课下能力提升(三)学业水平达标练 题组1 数(式)中的归纳推理1已知数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则数列的第k项是( )aakak1a2k bak1aka2k1cak1aka2k dak1aka2k2解析：选d 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak1aka2k2.2如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2 014到2 016的箭头方向依次为( )a b c d解析：选b 观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现因此，2 014到2 016的箭头方向和2到4的箭头方向是一致的故选b.3根据给出的等式猜测123 45697等于( )192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111a1 111 110 b1 111 111c1 111 112 d1 111 113解析：选b 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.4设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nn*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n1，故fn(x).答案：题组2 图形中的归纳推理5如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )a白色 b黑色c白色可能性大 d黑色可能性大解析：选a 由图，知三白二黑周期性排列，36571，故第36颗珠子的颜色为白色6如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )aan3n1 ban3ncan3n2n dan3n12n3解析：选a a11，a23，a39，a427，猜想an3n1.7如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分猜想：在圆内画n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？解：设圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分f(1)112，g(1)2；f(2)422，g(2)422；f(3)932，g(3)7223；f(4)1642，g(4)112234；猜想：f(n)n2，g(n)2234n1.即圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割为n2条线段，将圆最多分割为部分题组3 类比推理8已知bn为等比数列，b52，且b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为( )aa1a2a3a929 ba1a2a929ca1a2a929 da1a2a929解析：选d 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a1a2a929.9在平面中，abc的acb的平分线ce分abc面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥abcd中，平面dec平分二面角acdb且与ab交于e，则类比的结论为_解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有.答案：10在矩形abcd中，对角线ac与两邻边所成的角分别为，则cos2cos21，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明解：如图，在矩形abcd中，cos2cos2 221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21，证明如下：如图，cos2cos2cos22221. 能力提升综合练 1观察下列各式：7249,73343,742 401，则72 016的末两位数字为( )a01 b43 c07 d49解析：选a 因为717,7249,73343,742 401，7516 807,76117 649，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期t4.又2 0164504，所以72 016的末两位数字与74的末两位数字相同，为01.2定义a*b，b*c，c*d，d*b依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示a*d，a*c的分别是( )a(1)，(2) b(1)，(3)c(2)，(4) d(1)，(4)解析：选c 由可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母a代表竖线，字母b代表大矩形，字母c代表横线，字母d代表小矩形，a*d是(2)，a*c是(4)3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )a289 b1 024 c1 225 d1 378解析：选c 记三角形数构成的数列为an，则a11，a2312，a36123，a4101234，可得通项公式为an123n.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bnn2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.4设等差数列an的前n项和为sn，则s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，_，_，成等比数列解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，成等比数列答案： 5将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16则在表中数字2 016出现在第_行，第_列解析：第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n1)n2.4421 936,4522 025，且1 9362 0162 025，2 016在第45行又2 0252 0169，且第45行有245189个数字，2 016在第89980列答案：45 806已知椭圆具有以下性质：若m，n是椭圆c上关于原点对称的两个点，点p是椭圆上任意一点