人教A版选修22 1．3.3　函数的最大(小)值与导数(一) 课件（44张）.pptx

1 3 3函数的最大 小 值与导数 一 第一章 1 3导数在研究函数中的应用 学习目标 1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 如图为函数y f x x a b 的图象 知识点函数的最大 小 值与导数 答案极大值为f x1 f x3 极小值为f x2 f x4 思考1观察区间 a b 上函数y f x 的图象 试找出它的极大值 极小值 答案存在 f x min f a f x max f x3 思考2结合图象判断 函数y f x 在区间 a b 上是否存在最大值 最小值 若存在 分别为多少 梳理 1 函数的最大 小 值的存在性一般地 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 一般地 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的与处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 连续不断 极值 各极值端点 最大值 最小值 1 函数的最大值不一定是函数的极大值 2 函数f x 在区间 a b 上的最大值与最小值一定在区间端点处取得 3 有极值的函数一定有最值 有最值的函数不一定有极值 思考辨析判断正误 题型探究 类型一求函数的最值 命题角度1利用导数直接求最值例1求下列各函数的最值 1 f x x4 2x2 3 x 3 2 解答 解f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 当x 3时 f x 取最小值 60 当x 1或x 1时 f x 取最大值4 解答 2 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 解f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 3 f x 在 1 1 内恒大于0 f x 在 1 1 上为增函数 故当x 1时 f x min 12 当x 1时 f x max 2 即f x 的最小值为 12 最大值为2 反思与感悟求解函数在固定区间上的最值 需注意以下几点 1 对函数进行准确求导 并检验f x 0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值的大小 确定最值 跟踪训练1求下列函数的最值 解答 f x 0时 x 2 当f x 0时 x2 所以f x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 解答 所以当x 0时 f x 有最小值f 0 0 当x 2 时 f x 有最大值f 2 解答 命题角度2对参数讨论求最值例2已知函数f x ex ax2 bx 1 其中a b r e 2 71828 为自然对数的底数 设g x 是函数f x 的导函数 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 解因为f x ex ax2 bx 1 所以g x f x ex 2ax b 又g x ex 2a 因为x 0 1 1 ex e 所以 所以函数g x 在区间 0 1 上单调递增 g x min g 0 1 b 于是当00 所以函数g x 在区间 0 ln 2a 上单调递减 在区间 ln 2a 1 上单调递增 g x min g ln 2a 2a 2aln 2a b 所以函数g x 在区间 0 1 上单调递减 g x min g 1 e 2a b 解答 引申探究1 若a 1 b 2 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 解因为a 1 b 2 g x f x ex 2x 2 又g x ex 2 令g x 0 因为x 0 1 解得x ln2 已知当x ln2时 函数取极小值 也是最小值 故g x min g ln2 2 2ln2 2 4 2ln2 解答 2 当b 0时 若函数g x 在区间 0 1 上的最小值为0 求a的值 解当b 0时 因为f x ex ax2 1 所以g x f x ex 2ax 又g x ex 2a 因为x 0 1 1 ex e 所以 所以函数g x 在区间 0 1 上单调递增 g x min g 0 1 不符合题意 于是当00 所以函数g x 在区间 0 ln 2a 上单调递减 在区间 ln 2a 1 上单调递增 g x min g ln 2a 2a 2aln 2a 0 所以函数g x 在区间 0 1 上单调递减 反思与感悟对参数进行讨论 其实质是讨论导函数大于0 等于0 小于0三种情况 若导函数恒不等于0 则函数在已知区间上是单调函数 最值在端点处取得 若导函数可能等于0 则求出极值点后求极值 再与端点值比较后确定最值 解答 跟踪训练2已知a是实数 函数f x x2 x a 求f x 在区间 0 2 上的最大值 解f x 3x2 2ax 从而f x max f 2 8 4a 从而f x max f 0 0 例3已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 类型二由函数的最值求参数 解答 解由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0 且当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知 当x 0时 f x 取得极大值b 也就是函数在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值 或范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 其中注意分类讨论思想的应用 解答 跟踪训练3已知函数h x x3 3x2 9x 1在区间 k 2 上的最大值是28 求k的取值范围 解 h x x3 3x2 9x 1 h x 3x2 6x 9 令h x 0 得x1 3 x2 1 当x变化时 h x h x 的变化情况如下表 当x 3时 取极大值28 当x 1时 取极小值 4 而h 2 3 h 3 28 如果h x 在区间 k 2 上的最大值为28 则k 3 达标检测 1 2 3 4 5 1 如图所示 函数f x 导函数的图象是一条直线 则a 函数f x 没有最大值也没有最小值b 函数f x 有最大值 没有最小值c 函数f x 没有最大值 有最小值d 函数f x 有最大值 也有最小值 解析 答案 解析由导函数图象可知 函数f x 只有一个极小值点1 即f x 在x 1处取得最小值 没有最大值 1 2 3 4 5 解析 答案 2 函数f x x3 3x 1在闭区间 3 0 上的最大值和最小值分别是a 1 1b 1 17c 3 17d 9 19 解析f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 又f 3 27 9 1 17 f 0 1 f 1 1 3 1 3 1 3 0 所以最大值为3 最小值为 17 解得x e 当x e时 f x 0 1 2 3 4 5 解析 答案 4 函数f x 2x3 6x2 m m是常数 在区间 2 2 上有最大值3 则在区间 2 2 上的最小值为 37 解析f x 6x2 12x 6x x 2 由题意知 在区间 2 2 上 x 0是f x 的最大值点 f x max f 0 m 3 f 2 16 24 3 37 f 2 16 24 3 5 f x min 37 答案 解析 1 2 3 4 5 5 已知函数f x ax3 bx c在点x 2处取得极值c 16 1 求a b的值 解因为f x ax3 bx c 故f x 3ax2 b 由于f x 在点x 2处取得极值c 16 解答 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 解令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 当x 2 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 由此可知f x 在x1 2处取得极大值 f 2 16 c f x 在x2 2处取得极小值 f 2 c 16 由题设条件知