人教A版选修11：1.2.2充要条件 课件（59张）.ppt

1 2 2充要条件 主题充要条件的概念1 已知p 整数a是6的倍数 q 整数a是2和3的倍数 请判断 p是q的充分条件吗 p是q的必要条件吗 提示 p q 故p是q的充分条件 又q p 故p是q的必要条件 2 通过判断 你发现了什么 这种关系是否对任意一个 若p 则q 的命题只要具备上述命题的条件都成立 你能用数学语言概括出来吗 提示 可以发现p既是q的充分条件 又是q的必要条件 且这种关系对 若p 则q 的命题只要具备p q q p都成立 即p q 结论 充要条件的概念如果既有p q 又有q p 就记作p q 此时 我们说p是q的 条件 简称 条件 概括地说 如果p q 那么p与q互为 条件 充分必要 充要 充要 微思考 1 符号 的含义是什么 提示 符号 的含义是 等价于 例如 p q 可以理解为 p是q的充要条件 p等价于q q必须且只须p p q 的含义还可以理解为 p q 且q p 2 p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗 提示 不相同 两者都有p与q等价的含义 但是两种叙述方式中的条件与结论不同 p是q的充要条件 中 p 是条件 q 是结论 即p q为真 充分性成立 q p为真 必要性成立 而 q是p的充要条件 中的条件是 q 结论是 p 即q p为真 充分性成立 p q为真 必要性成立 3 若p不是q的充分条件 则q可能是p的必要条件吗 p可能是q的必要条件吗 提示 充分条件与必要条件是共存的 如果p不是q的充分条件 则q也不是p的必要条件 p可能是q的必要条件 预习自测 1 已知条件p y lg x2 2x 3 的定义域 条件q 5x 6 x2 则q是p的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a p x2 2x 3 0 则x 1或xx2 即x2 5x 6 0 得2 x 3 所以q p 但pq 2 设x y r 则 x 2且y 2 是 x2 y2 4 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a x2 y2 4表示以原点为圆心 以2为半径的圆以及圆外的区域 可知点 0 2 在此区域内 此时x 0 2 即x2 y2 4不一定推出x 2且y 2 3 设a b r 那么ab 0的充要条件是 a a 0且b 0b a 0或b 0c a 0或b 0d a 0且b 0 解析 选c 由ab 0 知a b至少有一个为0 即a 0或b 0 而由a 0或b 0可得ab 0 4 已知a b是实数 则 a 0且b 0 是 a b 0 且ab 0 的 条件 解析 因为a 0 b 0 所以a b 0 ab 0 所以充分性成立 因为ab 0 所以a与b同号 又a b 0 所以a 0且b 0 所以必要性成立 故 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的充要条件 答案 充要 类型一充分条件 必要条件 充要条件的判断 典例1 1 2017 北京高考 设m n为非零向量 则 存在负数 使得m n 是 m n 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 2 判断下列各题中p是q的什么条件 在 abc中 p a b q bc ac p x 1 q x2 1 p a 2 a 3 0 q a 3 p a b q 1 解题指南 可根据充分 必要 充要条件的特点 分两个步骤进行判断 判断充分性 判断必要性 解析 1 选a 若存在负数 使得m n 此时非零向量m n反向 则有m n 0成立 当m n 0时 非零向量m n的夹角 此时m n不一定反向 所以m n不一定成立 所以 存在负数 使得m n 是 m n 0 的充分而不必要条件 2 由三角形中大角对大边可知 若a b 则bc ac 反之 若bc ac 则a b 因此 p是q的充要条件 由x 1可以推出x2 1 由x2 1 得x 1或x 1 不一定有x 1 因此 p是q的充分不必要条件 由 a 2 a 3 0可以推出a 2或a 3 不一定有a 3 由a 3可以得出 a 2 a 3 0 因此 p是q的必要不充分条件 由于a1 当b 0时 0 b 0 b 因此p是q的既不充分也不必要条件 方法总结 判断充分条件 必要条件及充要条件的四种方法 1 定义法 直接判断 若p 则q 以及 若q 则p 的真假 2 集合法 即利用集合的包含关系判断 3 等价法 即利用p q与q p的等价关系 一般地 对于条件和结论是否定形式的命题 一般运用等价法 4 传递法 充分条件和必要条件具有传递性 即由p1 p2 pn 可得p1 pn 充要条件也有传递性 拓展延伸 充分条件 必要条件 充要条件与四种命题的关系判定充分条件 必要条件时 可以与四种命题的关系结合起来 把p与q分别记作原命题的条件与结论 则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下 如果原命题为真 逆命题为假 那么p是q的充分不必要条件 如果原命题为假 逆命题为真 那么p是q的必要不充分条件 如果原命题与逆命题都为真 那么p是q的充要条件 如果原命题与逆命题都为假 那么p是q的既不充分也不必要条件 巩固训练 已知如下命题中 若a r 则 a 2 是 a 1 a 2 0 的充分不必要条件 对于实数a b c a b 是 ac2 bc2 的充分不必要条件 直线l1 ax y 3 l2 x by c 0 则 ab 1 是 l1 l2 的必要不充分条件 m6 是 y x2 mx m 3有两个不同零点 的充要条件 正确的命题是 解析 中 当a 2时 有 a 1 a 2 0 但当 a 1 a 2 0时 a 1或a 2 不一定有a 2 所以 a 2 是 a 1 a 2 0 的充分不必要条件 正确 因为a bac2 bc2 c 0 但ac2 bc2 a b 所以 a b 是 ac2 bc2 必要不充分条件 错 中 ab 1且ac 3时 l1与l2重合 但l1 l2 即ab 1 所以 ab 1 是 l1 l2 的必要不充分条件 正确 中 y x2 mx m 3有两个不同零点 m2 4 m 3 0 m6 所以是充要条件 正确 答案 类型二充分条件 必要条件 充要条件的应用 典例2 已知条件p a x x2 a 1 x a 0 条件q b x x2 3x 2 0 当a为何值时 1 p是q的充分不必要条件 2 p是q的必要不充分条件 3 p是q的充要条件 解题指南 先化简p q对应的集合 再结合p q的关系转化为集合a b间的关系 构建方程或不等式可解 解析 因为a x x2 a 1 x a 0 x x 1 x a 0 b x x2 3x 2 0 1 2 1 因为p是q的充分不必要条件 所以ab 而当a 1时 a 1 显然成立 当a 1 a 1 a 需1 a 2 综上可知1 a 2时 p是q的充分不必要条件 2 因为p是q的必要不充分条件 所以ba 故a 1 a 且a 2 所以有a 2时 p是q的必要不充分条件 3 因为p是q的充要条件 所以a b 故a 2 延伸探究 1 本例条件不变 当a为何值时 q是p的充分不必要条件 解析 p a x x 1 x a 0 q b 1 2 若q是p的充分不必要条件 即q p 但pq 即p是q的必要不充分条件 故a的取值范围为a 2 2 若把本例中b集合改为 b x x2 x 2 0 其他条件不变 则a为何值 解析 b x x2 x 2 0 2 1 此时 1 ab 得 2 a 1 2 ba 得 a 2 3 a b 得 a 2 方法总结 1 集合法求参数的取值范围利用充分 必要条件求参数的取值范围问题 常利用集合法求解 即先化简集合a x p x 和b x q x 然后根据p与q的关系 充分 必要 充要条件 得出集合a与b的包含关系 进而得到相关不等式组 也可借助数轴 求出参数的取值范围 2 反例法判断条件判断p是q的什么条件 若直接判断困难 还可以用等价命题来判断 有时也可通过举反例否定充分性或必要性 补偿训练 若a x a3 且a是b的充分不必要条件 求实数a的取值范围 解析 因为a是b的充分不必要条件 所以ab 又a x a3 因此a 2 1或a 3 所以实数a的取值范围是a 3或a 3 类型三充要条件的证明 典例3 试证 一元二次方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根的充要条件是ac 0 解题指南 证明 1 必要性 因为方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根 所以 b2 4ac 0 x1x2 0 x1 x2为方程的两根 所以ac 0 2 充分性 由ac0及x1x2 0 x1 x2为方程的两根 所以方程ax2 bx c 0有两个相异实根 且两根异号 即方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根 综上所述 一元二次方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根的充要条件是ac 0 方法总结 证明充要条件的两个关注点 1 双向性 证明p是q的充要条件 既要证明 p q 为真 又要证明 q p 为真 前者证明的是充分性 后者证明的是必要性 2 分清地位 证明充要条件 即说明原命题和逆命题都成立 要注意 p是q的充要条件 与 p的充要条件是q 这两种说法的差异 分清哪个是条件 哪个是结论 巩固训练 求证 关于x的一元二次不等式ax2 ax 1 0对于一切实数x都成立的充要条件是0 a 4 证明 必要性 若ax2 ax 1 0对于一切实数x都成立 由二次函数性质有即所以0 a 4 充分性 因为00对于一切实数x都成立 由 知 命题得证 补偿训练 已知