人教A版选修12 2.2.1 综合法和分析法 学案.doc

2.2.1 综合法和分析法课堂导学三点剖析各个击破一、利用综合法证明数学问题【例1】如右图,在四棱锥pabcd中,底面abcd是正方形,pa底面abcd,求证:pcbd. 证明：(综合法)因为pa是平面abcd的垂线,pc是平面abcd的斜线,连结ac、bd,则ac是pc在底面abcd内的射影.又因为四边形abcd为正方形.acbd. 故pcbd. 温馨提示本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法,如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有ab、ad、ap两两垂直的基向量)等等.一般地,对于命题“若a则d”用综合法证明时，思考过程可表示为(如右图).综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从a推演达到d的途径，但由a推演出的中间结论未必唯一，如b、b1、b2等，可由b、b1、b2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如c、c1、c2、c3、c4等等.最终,能有一个(或多个)可推演出结论d即可.类题演练1用综合法证明,设a0,b0,ab.证明:.证明：综合法因为ab，所以a-b0，而（a-b）20，展开（a-b）2得：a2-2ab+b20.两边加上4ab得：a2+2ab+b24ab.左边写成（a+b）2得：（a+b）24ab.由于a0,b0,两边取算术平方根得：a+b2.两边除以2得：.变式提升1已知ab0,求证:.证明：ab0，b,即2b2.进而-2-2b,于是a-2+ba+b-2b,即0()2a-b,.二、利用分析法证明数学问题【例2】求证:.证法一：为了证明,只需证明()2(2+)2,展开得11+11+,只需证,只需证67.显然67成立.成立.证法二:为了证明,只要证明,只要证明.,成立.成立.温馨提示用分析法思考数学问题的顺序可表示为:(对于命题“若a则d”)如右图,分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从d上溯寻其论据,如c、c1、c2等,再寻求c、c1、c2的论据,如b、b1、b2、b3、b4等等,继而寻求b、b1、b2、b3、b4的论据,如果其中之一b的论据恰为已知条件,于是命题已经得证.类题演练2已知a、b、c是不全相等的正数,且0x1.求证:logx+logx+logxlogxa+logxb+logxc.证明：要证明logx+logx+logxlogxa+logxb+logxc,只需要证明logxlogx(abc).由已知0x1,只需证明abc.由公式知0, 0, 0.a、b、c不全相等，上面三式相乘，=abc,即abc成立,logx+logx+logxlogxa+logxb+logxc成立.变式提升2设a,br+,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2.证明：要证a3+b3a2b+ab2成立，只需证（a+b）(a2-ab+b2)ab(a+b)成立,又因a+b0,只需证a2-ab+b2ab成立.又需证a2-2ab+b20成立.即需证(a-b)20成立.而依题设ab，则（a-b）20显然成立.由此命题得证.三、创新应用【例3】设a、b、c为任意三角形三边长,i=a+b+c,s=ab+bc+ca,试证3si24s.证明：i2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2s.故要证3si24s,只需证3sa2+b2+c2+2s4s,即sa2+b2+c22s(这对于保证结论成立是充分必要的).欲证上左部分,只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca0.即只需证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)0(这对于保证前一定结论成立也是充要的).要证上成立,可证三括号中子都不为负(这一条件对保证上结论成立是充分的,但它并不必要),注意到:a2+b2-2ab=(a-b)20,b2+c2-2bc=(b-c)20,c2+a2-2ca=(c-a)20,故结论真.欲证上右部分,只需证:a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0,即要证:(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0.欲证上,则至少要证以上三个括号中子之一小于零(这一条件对保证上结论成立只是必要的,但它并不充分),即要证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb之一真,也就是要证ab+c,bc+a,ca+b之一真,它们显然都成立,因为三角形一边小于其他两边和.故原成立.温馨提示在本例中,我们既看到按结论成立的充分条件推演的步子,也看到按结论成立必要条件而推演的步子,同时也看到按结论成立的充要条件而推演的步子.类题演练3设实数a0,且函数f(x)=a(x2+1)-(2x+)有最小值-1.(1)求a的值;(2)设数列an的前n项和sn=f(n),令bn=,证明数列bn是等差数列.(1)解：f(x)=a(x-)2+a-,由题设知f()=a-=-1,且a0，解得a=1或a=-2（舍去）.(2)证明：由（1）得f(x)=x2-2x,当sn=n2-2n,a1=s1=-1.当n2时，an=sn-sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3.a1满足上式，即an=2n