3.3.1要用几何概型.ppt

几何概型 古典概型的两个基本特征 有限性 在一次试验中 可能出现的结果只有有限个 即只有有限个不同的基本事件 等可能性 每个基本事件发生的可能性是相等的 现实生活中 有没有实验的所有可能结果是无穷多的情况 相应的概率如何求 复习回顾 创设情境 往一个方格中投一个石子 石子可能落在方格中的任何一点 这些试验可能出现的结果都是无限多个 例如一个人到单位的时间可能是8 00至9 00之间的任何一个时刻 问题 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向B区域时 甲获胜 否则乙获胜 求甲获胜的概率是多少 点击右侧的小转盘 更换一个转盘后 甲获胜的概率是多少 二 主动探索 领悟归纳 问题2 取一根长度为30cm的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大 从30cm的绳子上的任意一点剪断 基本事件 对于问题2 记 剪得两段绳长都不小于10cm 为事件A 把绳子三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件A发生 由于中间一段的长度等于绳长的1 3 问题3有一杯1升的水 其中含有1个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个细菌的概率 分析 细菌在这升水中的分布可以看作是随机的 取得0 1升水可作为事件的区域 解 取出0 1升中 含有这个细菌 这一事件记为A 则 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 领悟归纳 几何概型的特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 2 每个基本事件出现的可能性相等 在几何概型中 事件A的概率的计算公式如下 领悟归纳 例1某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 分析 假设他在0 60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的 但0 60之间有无穷个时刻 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率 可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率 解 设A 等待的时间不多于10分钟 我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内 因此由几何概型的求概率的公式得即 等待的时间不超过10分钟 的概率为 1 公共汽车在0 5分钟内随机地到达车站 求汽车在1 3分钟之间到达的概率 分析 将0 5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段 则1 3分钟是这一线段中的2个单位长度 解 设 汽车在1 3分钟之间到达 为事件A 则 所以 汽车在1 3分钟之间到达 的概率为 练习 例某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达 乘客到达车站的时刻是任意的 求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率 例某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达 乘客到达车站的时刻是任意的 求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率 分析 把时刻抽象为点 时间抽象为线段 故可以用几何概型求解 解 设上辆车于时刻T1到达 而下一辆车于时刻T2到达 线段T1T2的长度为15 设T是T1T2上的点 且T1T 5 T2T 10 如图所示 答 侯车时间大于10分钟的概率是1 3 记候车时间大于10分钟为事件A 则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时 事件发生 区域D的测度为15 区域d的测度为5 所以 变式 1 假设题设条件不变 求候车时间不超过10分钟的概率 分析 2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达 并且出发前在车站停靠3分钟 乘客到达车站的时刻是任意的 求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率 分析 设上辆车于时刻T1到达 而下一辆车于时刻T0到达 T2时刻出发 线段T1T2的长度为15 设T是T1T2上的点 且T0T2 3 TT0 10 如图所示 记候车时间大于10分钟为事件A 则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时 事件A发生 区域D的测度为15 区域d的测度为15 3 10 2 所以 6 在等腰直角三角形ABC中 在斜边AB上任取一点M 求AM小于AC的概率 分析 点M随机地落在线段AB上 故线段AB为区域D 当点M位于图中的线段AC 上时 AM AC 故线段AC 即为区域d 解 在AB上截取AC AC 于是P AM AC P AM AC 则AM小于AC的概率为 练习 7 在半径为1的圆上随机地取两点 连成一条线 则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少 B C D E 0 解 记事件A 弦长超过圆内接等边三角形的边长 取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点 当另一点在劣弧CD上时 BE BC 而弧CD的长度是圆周长的三分之一 所以可用几何概型求解 有 则 弦长超过圆内接等边三角形的边长 的概率为 练习 例2 会面问题 甲 乙二人约定在12点到5点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 解 以X Y分别表示甲 乙二人到达的时刻 于是 即点M落在图中的阴影部分 所有的点构成一个正方形 即有无穷多个结果 由于每人在任一时刻到达都是等可能的 所以落在正方形内各点是等可能的 M X Y 二人会面的条件是 012345 y x 54321 y x 1 y x 1 记 两人会面 为事件A 解 以X Y分别表示甲 乙二人到达的时刻 于是 例2 会面问题 甲 乙二人约定在12点到5点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 解 以x y分别表示两人的到达时刻 则两人能会面的充要条件为 练习 甲 乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位 他们可能在一昼夜的任意时刻到达 设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时 求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时的概率 分析 有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间就是一艘船到达时另一艘船还停靠在泊位中 则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的条件是 4x y6 解 设事件A 有一艘轮船停靠泊位必须等待一段时间 以x轴和y轴分别表示甲乙两船到达泊位的时间 例3 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 解 以横坐标x表示报纸送到时间 以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系 即父亲在离开家前能得到报纸的概率是 练一练 在区间 2 2 上任意取两数a b 求二次方程 有实数根的概率 试验的全部结果所构成的区域为 事件A表示二次方程x2 ax b2 0有实数根 所构成的区域为 即图中阴影部分 所以P A 变式 在一个圆上任取三点A B C 求能构成锐角三角形的概率 解 在一个圆上任取三点A B C 构成的三角形内角分别为 A B C 设 A x B y 则 构成锐角三角形的 x y 应满足的条件是 由几何概率计算得所求概率为 变式2 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话 发现30min的磁带上 从开始30s处起 有10s长的一段内容包