人教A版选修22 1.1变化率与导数2 学案.doc

第一章导数及其应用 1.1变化率与导数2 - 学 案一、学习目标(1) 从位移的变化、速度的变化等具体现象到本节研究函数的改变量、变化率，经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，为学习导数概念打下坚实的基础；（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（3）掌握函数在处的导数及求导数的方法；二、自主学习1 瞬时变化率 设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变量为，如果当趋近于0时，平均变化率=趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率，比如，运动的瞬时速度就是路程函数的瞬时变化率2导数与导函数一般地，设函数在点附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变量为；如果当趋近于零时，平均变化率趋近于一个常数，则常数称为函数在点处的变化率，而函数在点处的瞬时变化率则称为在处的导数，又称函数在该点处可导，记作，即= 如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导在区间内，则构成一个新的函数，我们则把这个函数称为函数的导函数，简称为导数3函数在处的导数及求导数的方法（1）函数在处的导数=（2）对于导数的概念要抓住以下三个层次：设函数在区间上有定义，函数的变化（增量）：对函数，自变量的增量=，相应的函数的增量是；计算比值（增量之比）；当时，比值无限趋近于一个常数所以正确理解导数的概念，掌握利用导数定义的三步曲求导的方法，即一是求函数的改变量；二是求平均变化率；三是当时，比值趋近于一个常数上述求导方法则可以简记为一差、二化、三极限4“函数在点处的导数”、“导函数”及“导数”的概念间的区别与联系（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变量（2）如果函数在区间内每一点处均可导，这是称在区间内可导对于区间内一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样的对应就构成了以区间为定义域的一个新函数，我们称它为的导函数（3）函数的导数是对某一区间内任一点而言，就是函数的导函数（4）函数在处的导数，就是导函数在处的函数值，5会求过曲线上一点的切线方程求切线方程可分为两步：第一步求出函数在点处的导数；第二步利用直线的点斜式，得切线方程为求切线方程时，首先要判断所给的点是否在曲线上，若在曲线上，可用求切线方程的步骤求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程结合已知条件求出切点坐标，从而求得方程三、合作探究题型一：理解导数定义 例1：设，求，思路导析：先根据导数的定义求得，再将自变量的值代入求得导数值解：由导数定义有=有，规律总结：（1）正确运用导数定义=（2）求即求导函数，当时的函数值变式训练1：已知，求适合的值题型二：掌握求导数的三个步骤例2：求函数在处的导数。思路导析：本题可以利用导数的定义来解决。解：（1）函数的改变量；（2）平均变化率=；（3）当时，趋向于，则函数在处的导数为规律总结：掌握利用导数定义的三步曲求导的方法，即一是求函数的改变量；二是求平均变化率；三是当时，比值趋近于一个常数变式训练2：求函数的导数题型三：切线方程，把握关键 例3：求曲线上一点处的切线方程思路导析：要求曲线过某一点的切线，由于切点已知，故只要求出该切线的斜率即可解：在曲线上，则即曲线方程可写成 先求函数的导函数：，= 当无限趋近于0时，无限趋近于，即，则，则在点处的切线方程是，即规律总结：（1）以上方法是先根据点在曲线上求出，再用导数定义求出函数在处的导数（即该点处切线的斜率），再用点斜式写出点处的切线方程（2）本题求函数图象上点的切线方程的解题步骤可以推广变式训练3： 求在处的切线的斜率四、自主小测1已知函数，那么下列说法错误的是（ ）a叫做函数的增量b叫做函数在到之间的平均变化率c在处的导数记为d在处的导数记为2 一物体的运动方程是，则在一小段时间内的平均速度为( )a b c d