苏教版必修2 1.3.2 空间几何体的体积 学案.docx

1.3.2空间几何体的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积知识点一柱体、锥体、台体的体积公式1柱体的体积公式vsh(s为底面面积，h为高)2锥体的体积公式vsh(s为底面面积，h为高)3台体的体积公式v(ss)h(s，s为上、下底面面积，h为高)4柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系vshv(ss)hvsh.知识点二球的表面积和体积公式1球的表面积公式s4r2(r为球的半径)2球的体积公式vr3.知识点三球体的截面的特点1球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆2利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径1锥体的体积等于底面面积与高之积()2台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()类型一柱体、锥体、台体的体积例1(1)如图所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为1，且aa1底面abc，则三棱锥b1abc1的体积为_答案解析三棱锥b1abc1的体积等于三棱锥ab1bc1的体积，三棱锥ab1bc1的高为，底面积为，故其体积为.(2)现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降_ cm.答案0.6解析设杯里的水下降h cm，由题意知2h2032，解得h0.6 cm.反思与感悟(1)常见的求几何体体积的方法公式法：直接代入公式求解等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算跟踪训练1(1)如图所示，在长方体abcdabcd中，用截面截下一个棱锥cadd，求棱锥cadd的体积与剩余部分的体积之比解设aba，adb，aac，vcaddcdsaddabcabc，剩余部分的体积为vabcdabcdvcaddabcabcabc，棱锥cadd的体积与剩余部分的体积之比为15.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积解如图，在三棱台abcabc中，取上、下底面的中心分别为o，o，bc，bc的中点分别为d，d，则dd是梯形bccb的高所以s侧3(2030)dd75dd.又因为ab20 cm，ab30 cm，则上、下底面面积之和为s上s下(202302)325(cm2)由s侧s上s下，得75dd325，所以dd(cm)，od20(cm)，od305(cm)，所以棱台的高hoo4(cm)由棱台的体积公式，可得棱台的体积为v(s上s下)1 900(cm3)类型二球的表面积与体积例2(1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比解如图，等边abc为圆锥的轴截面，截球面得圆o.设球的半径oer，oa2oe2r.adoaod2rr3r，bdadtan 30r，v球r3，v圆锥bd2ad(r)23r3r3，v球v圆锥49.(2)设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_答案6a2解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为a，得球的半径为a，则球的表面积为426a2.反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2a，如图.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3，如图.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径r的关系为2ra.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径r的关系为2ra.跟踪训练2(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为_答案解析由题意知，此球是正方体的内切球根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，所以体积是13.(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_答案a2解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，p为三棱柱上底面的中心，o为球心，易知apaa，opa，所以球的半径roa满足r222a2，故s球4r2a2.例3已知过球面上三点a，b，c的截面到球心的距离等于球半径的一半，且acbc6，ab4，求球的表面积与球的体积解如图所示，设球心为o，球半径为r，作oo1平面abc于点o1，由于oaobocr，则o1是abc的外心，设m是ab的中点，由于acbc，则o1cm.设o1mx，易知o1mab，则o1a，o1ccmo1mx.又o1ao1c，x，解得x.o1ao1bo1c.在rtoo1a中，o1o，oo1a90，oar，由勾股定理得22r2，解得r，则s球4r254，v球r327.反思与感悟设球的截面圆上一点a，球心为o，截面圆心为o1，则ao1o是以o1为直角顶点的直角三角形，在解答球心的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面跟踪训练3用过球心的平面将一个球分成两个半球，则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的_倍答案解析设球的半径为r，则s球表4r2.分成两个半球后，表面积为原来球的表面积再加上两个圆面面积，s圆r2，两个半球的表面积之和ss球表2s圆6r2.ss球表32.类型三组合体的体积例4如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由解不会溢出杯子理由如下：因为v半球r343(cm3)，v圆锥r2h421264(cm3)，所以v半球v圆锥，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子反思与感悟代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别跟踪训练4如图，在四边形abcd中，dab90，adc135，ab5，cd2，ad2，求四边形abcd绕ad所在直线旋转一周所得的几何体的体积解如图，过点c作ce垂直于ad，交ad延长线于点e，则所求几何体的体积可看成是由梯形abce绕ae所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去edc绕de所在直线旋转一周所得的圆锥的体积所以所求几何体的体积vv圆台v圆锥(525222)4222.1已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是_ cm.答案4解析铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，铜质的五棱柱的体积v16464(cm3)设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm，则a364，解得a4(cm)2如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于_答案2解析设圆柱的底面半径为r，则s侧2r2r4r24，得r1，则圆柱的体积为r22r2.3正方体的外接球的体积是其内切球的体积的_倍答案3解析设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，外接球的半径为.外接球的体积为3，内切球的体积为3，外接球的体积是内切球的体积的3倍4设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为_答案解析依题意得正六棱锥的高为2，所以vsh62.5如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1 cm和底面半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为_ cm.答案29解析在图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h cm，则有12(h20)32(h28)，解得h29(cm)1柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系v柱体shv台体h(ss)v锥体sh.2在三棱锥abcd中，若求点a到平面bcd的距离h，可以先求vabcd，h.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中v一般用换顶点法求解，即vabcdvbacdvcabdvdabc，求解的原则是v易求，且bcd的面积易求3求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解4利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算5解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算一、填空题1已知正三棱锥sabc，d，e分别为底面边ab，ac的中点，则四棱锥sbced与三棱锥sabc的体积之比为_答案34解析两锥体高相等，因此vs-bcedvs-abcsbcedsabc34.2一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为_答案4解析设正方体棱长为1，则s正方体侧s圆柱侧4.设圆柱的底面半径为r，则2r14，r，则v正方体1，v圆柱21.v正方体v圆柱4.3已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240，则该圆锥的体积为_答案解析由题意得圆锥的底面圆的周长为21，设底面圆的半径为r，则有2r，所以r，所以圆锥的高h，故圆锥的体积v2.4长方体共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为_答案9解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则解得外接球半径为，外接球表面积为4()29.5.如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子(中间连通)若其表面积为(44832)cm2，则其体积为_ cm3.答案512128解析设正方体的棱长为a cm，则5a22a2a2244832，解得a8(cm)该几何体的体积为a3a2a512128(cm3)6如图，在正直三棱柱abca1b1c1中，d为棱aa1的中点，若截面bc1d是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_答案8解析由题意，设aba，aa1b，由题意可知bddc1，故bdc1为以点d为直角顶点的等腰直角三角形又bd26，所以bd2，bc12，由ab2ad2bd2，得a212.又由bc2ccbc，得a2b224，由可得a2，b4，v(2)248.7.如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，若e，f分别为ab，ac的中点，平面eb1c1f将三棱柱分成体积为v1，v2的两部分，那么v1v2_.答案75解析如图，延长a1a到a2，b1b到b2，c1c到c2，且a1aaa2，b1bbb2，c1ccc2，连结a2c2，a2b2，b2c2，则得到三棱柱abca2b2c2，且.延长b1e，c1f，则b1e与c1f相交于点a2.因为a2aa2a112，所以.又，所以v1，故v1v27(127)75.8.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示则球的半径是_ cm.答案3解析设球半径为r，则由3v球v水v柱，可得3r3r26r26r，解得r3.9如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为_ cm3.答案解析设球半径为r cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(r2)cm，所以由42(r2)2r2，得r5(cm)，所以球的体积vr353(cm3)10设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为v1，s1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为v2，s2，若，则_.答案解析棱长为a的正方体的体积v1a3，表面积s16a2.底面半径和高均为r的圆锥的体积v2r3，侧面积s2r2.由，得ar，所以.二、解答题11一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间解(1)设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为l，则h8(cm)(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r，由ocdaco1，得，所以，解得r3.因为圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，所以v锥v球62833963660(cm3)12如图，三棱柱a1b1c1abc中，已知d，e，f分别为ab，ac，aa1的中点，设三棱锥afed的体积为v1，三棱柱a1b1c1abc的体积为v2，求v1v2的值解设三棱柱的高为h，f是aa1的中点，则三棱锥fade的高为，d，e分别是ab，ac的中点，sadesabc，v1sade，v2sabch，.13如图所示，半径为r的半圆内的阴影部分是以直径ab所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积(其中bac30)解过c作co1ab于点o1，由已知得bca90，bac30，ab2r，acr，bcr，co1r.s球4r2，s圆锥ao1侧rrr2，s圆锥bo1侧rrr2，s几何体表s球s圆锥ao1侧s圆锥bo1侧4r2r2r2r2.又v球r3，ao1cor2ao1，bo1cor2bo1，v