高二圆锥曲线复习.doc

椭圆（一）一、课前准备：【自主梳理】椭圆的定义：平面内一点P与两定点F1、F2的距离的和等于常数.即|PF1|+|PF2|=2a（a0).(1)若2a|F1F2|,则点P的轨迹为 ;(2)若2a=|F1F2|,则点P的轨迹为 ;(3) 若2a|F1F2|,则点P的轨迹为 .2)平面内点P与定点F的距离和它到定直线的距离d的比是常数e 的点的轨迹叫做椭圆.定点F为椭圆的 ，定直线为椭圆的 .【自我检测】1 已知椭圆满足，焦点在X轴上，则其方程为_.2已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为2/3，短轴长为，则椭圆方程为_.3椭圆的长轴长为_，短轴长为_，顶点坐标为_，焦点为_，离心率为_.4设椭圆的焦点在x轴上，则k的范围为_.5椭圆的焦距是4，则k=_，椭圆的离心率，则k=_.6若是椭圆的两焦点，过做直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为_. 二、课堂活动：【例1】填空题：（1）两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10，则椭圆的标准方程是_.（2）焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程是_.（3）的两个顶点坐标分别是和，另两边的斜率的乘积是，则顶点的轨迹方程是_（4）一动圆与已知圆外切，圆内切，则这动圆圆心的轨迹方程是_【例2】设分别为椭圆C：的左右两个焦点，椭圆上的点A（1，）到两点的距离之和等于4，求：写出椭圆C的方程和焦点坐标过且倾斜角为30的直线，交椭圆于A,B两点，求AB的周长【例3】设、分别是椭圆的左、右焦点. （1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.课堂小结三、课后作业1已知椭圆的焦点，P是椭圆上一点，且的等差中项，则椭圆的方程是_.2椭圆的焦点坐标是_.3已知是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是_.4与椭圆有相同焦点且过点的椭圆方程是_.5点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为_.6已知是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为_，最小值为_7椭圆的焦距为6且经过点，则焦点在x轴上的椭圆的标准方程_.8椭圆的一个焦点是，且截直线，所得弦 的中点横坐标为，则椭圆的标准方程_.9已知方程，对不同范围内的值分别指出方程所代表的曲线的类型.10已知直线交椭圆于两点，点坐标为，当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程【自我检测】1. ;2. 或；3.10,8，；4.4k0，n0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）0，即m+nmn0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦长公式得2=（）2，将m+n=2代入，得mn=. 或解得 m=， m=，n= n=. 椭圆方程为+y2=1或x2+=1. 10解：（1）设椭圆的方程为，由已知，得，解得所以椭圆的标准方程为3分（2）证明：设。由椭圆的标准方程为，可知同理4分，5分当时，由，得从而有设线段的中点为，由6分得线段的中垂线方程为7分，该直线恒过一定点8分当时，或线段的中垂线是轴，也过点，线段的中垂线过点10分（3）由，得。又，12分时，点的坐标为14分双曲线一、课前准备：【自主梳理】1.双曲线的定义1、平面内一点P与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.即|PF1|-|PF2|=2a（a0).(1)若2a|F1F2|,则点P的轨迹为 ;(2)若2a=|F1F2|,则点P的轨迹为 ;(3) 若2a1)（即 ）的点的轨迹叫做双曲线.定点F为双曲线的 ，定直线为双曲线的 .2.双曲线的几何性质条件=标准方程范 围顶 点对称性对称轴对称轴： 实轴长： ，虚轴长： 对称中心焦 点准线方程焦半径焦 距离心率渐近线方程共渐近线的双曲线方程【自我检测】1已知P是双曲线1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3xy0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若|PF2|3，则|PF1|_.2. 已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y4x，则该双曲线的离心率是_.3. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为_.4已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=_.5已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_.二、课堂活动：【例1】填空题：（1）已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为_.（2）过双曲线1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为_.（3）已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 _ .（4）已知F1、F2为双曲线Cx2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2| _.【例2】已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；变式1.求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；变式2.已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。【例3】已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(2,0)(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|2|，求直线l的方程课堂小结三、课后作业已知双曲线1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_已知P是双曲线1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3xy0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若|PF2|3，则|PF1|_.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.；如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是_.5设F1和F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF260，则F1PF2的面积是_ 6过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是_.7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_。8若双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是_9(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；(2)已知双曲线的离心率e，且与椭圆1有共同的焦点，求该双曲线的 方程10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)求证：;(3)求F1MF2面积自我检测参考答案1.5 2. 3. 4. m4 5. yx例1参考答案(1) 9 (2) (3) 1 (4) 4例2 【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，。所以所求双曲线的方程为；变式1椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则。又过点，。综上得，所以。点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。变式2.因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为；点在双曲线上，点的坐标适合方程。将分别代入方程中，得方程组：将和看着整体，解得，即双曲线的标准方程为。点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。例3【解析】 (1)由题意可设所求的双曲线方程为1(a0，b0)则有e2，c2，a1，则b所求的双曲线方程为x21.(2)直线l与y轴相交于M且过焦点F(2,0)l的斜率k一定存在，设为k，则l：yk(x2)令x0得M(0,2k)|2|且M、Q、F共线于l2或2当2时，xQ，yQk Q，Q在双曲线x211，k，当2时，同理求得Q(4，2k)代入双曲线方程得，161，k则所求的直线l的方程为：y(x2)或y(x2)课后作业1. yx. 2. |PF1|5. 3.双曲线的标准方程是 4. ，5. 6. 148 7. 4 8. 10)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是_ 7抛物线y24x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为_ 8.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），求ABF的面积_9 已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由自我检测答案1. y 2. x2y 3. 3 4.8 5. （6，9） 6. yx2或yx2【例1】答案例1 (1)方程为y212x.(2)由于P(2，4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2mx或x2ny.代入P点坐标求得m8，n1，所求抛物线方程为y28x或x2y.(3)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得5|AF|m|.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.【例2】分析 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求PA+PF的问题可转化为PA+d的问题，运用三点共线可使问题得到解决.解 将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y= . 2,点A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x= 的距离为d，由定义知PA+PF=PA+d.由图可知当PAl时，PA+d最小，最小值为 ，即PA+PF的最小值为 .此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，即点P的坐标为（2，2）.小结： 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化，是抛物线定义的重要应用.变式 解析： 将x=2代入抛物线方程，得y=2，32,点A在抛物线的外部.PA+PFAF= ，A、P、F三点共线时有最小值，最小值为 .【例3】解 建立如图所示的直角坐标系，则A（-1,1.5)，B（1,1.5)，C（0，1.5).设抛物线方程为x2=2py(p0),将点A的坐标（-1,1.5)代入方程，得到1=2p1.5,即p= ，所以抛物线方程为x2= y.由点E的纵坐标为1，得到点E的横坐标为 ，所以截面图中水面宽度为 m.小结： 解决实际问题时,建立数学模型是关键，建立适当的坐标系可简化计算，同时要注意实际背景中的限制条件.课后作业答案1. (1,0) 2. 4或4 3. 4. 5. 6. y28x 7. 4 8. 29. 解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.由直线OA与l的距离d可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.直线与圆锥曲线(一)一、课前准备：【自主梳理】直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为，当_时，有两个公共点，_时，有一个公共点，_时，没有公共点但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）【自我检测】1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.2.为椭圆上一点，、为左右焦点，若过作直线交椭圆于，两点，则的周长是 .3.设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则 . 4已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于、两点若，则 5.已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为_.二、课堂活动：【例1】填空题：(1)过双曲线M：x21的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|BC|，则双曲线M的离心率是_(2)抛物线y24x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有_(3)若双曲线1(a0，b0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是_ (4)已知F1，F2是双曲线y21的左、右两个焦点，P、Q为右支上的两点，直线PQ过F2，且倾斜角为，则|PF1|QF1|PQ|的值为_【例2】已知椭圆及直线（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程【例3】试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称 课堂小结三、课后作业1 斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为_2.若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_3.已知直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共点，则实数a=_4. 在抛物线y24x上恒有两点关于直线ykx3对称， k的取值范围为_5.过点M(2,0)的直线m与椭圆y21交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_6.如图，以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆过椭圆的中心O并交椭圆于M、N两点，若过椭圆左焦点F1的直线MF1是圆的切线，则椭圆的右准线l与圆F2的位置关系是_7抛物线y22px(p0为常数)的焦点为F，准线为l，过F作一条直线与抛物线相交于A、B两点，O为原点，给出下列四个结论：|AB|的最小值为2p；AOB的面积为定值 ；OAOB；以线段AB为直径的圆与l相切其中正确结论的序号是_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)8. 已知双曲线方程2x2y22.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由APQFOxy9.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l： 相切，求椭圆C的方程. 【自我检测】答案1.1k1. 2.20 3.8 4 5. m9【例1】(1)e=. (2) 2个 (3)(1，1 (4) 4【例2】解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，即 ，解得 （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得， 根据弦长公式得 解得 因此，所求直线的方程为 【例3】解 设椭圆上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是椭圆内的点 从而有 由 (1)-(2)得 由由在直线上从而有 课后作业1 2. 3. a0，1， 4. 5. 6.相交 7. 8. 解：(1)即设的中点弦两端点为，则有关系又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系两式相减是： 所求中点弦所在直线为，即(2)可假定直线存在，而求出的方程为，即方法同(1)，联立方程，消去y,得然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线不存在9. 解：设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知2分设，得因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故椭圆的离心率e由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，c=1，b=，所求椭圆方程为直线与圆锥曲线(二)一、课前准备：【自主梳理】1直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则：AB=_或_利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算2中点弦问题：点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上不同的两点，则：_对于双曲线、抛物线，可得类似的结论【自我检测】1.过点（2，4）作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有_条.2已知双曲线C：x2=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有_条.3已知对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是_.4若双曲线x2y21的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为_.5已知双曲线x21，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_.二、课堂活动：【例1】填空题：已知椭圆，（1）则过点且被平分的弦所在直线的方程是_；（2）则斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是_；（3）过引椭圆的割线，则截得的弦的中点的轨迹方程是_；（4）椭圆上有两点为原点，且有直线、斜率满足，则线段 中点 的轨迹方程是_【例2】已知的顶点在椭圆上，在直线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程【例3】已知抛物线y2=x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点.（1）求证：OAOB；（2）当OAB的面积等于时，求k的值课堂小结三、课后作业1AB为抛物线y2=2px（p0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为_；若AB的倾斜角为，则|AB|=_2过点（0，2）的直线被椭圆x22y22所截弦的中点的轨迹方程是_.3设双曲线的半焦距为 ，直线 过两点，已知原点到直线的的距离为，则双曲线的离心率为_.4已知双曲线x2=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点，则直线AB的方程是_.5椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|=_.【自我检