苏教版必修2 1.2.4 第3课时 两平面垂直的性质 学案.docx

第3课时两平面垂直的性质学习目标1.掌握平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单的问题.3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系知识点平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画的直线必与地面垂直梳理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言，l，a，ala图形语言1若平面平面，任取直线l，则必有l.()2已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面()类型一平面与平面垂直的性质定理例1如图所示，p是四边形abcd所在平面外的一点，abcd是dab60且边长为a的菱形侧面pad为正三角形，其所在平面垂直于底面abcd，g为ad边的中点求证：(1)bg平面pad；(2)adpb.证明(1)由题意知pad为正三角形，g是ad的中点，pgad.又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，pg平面abcd，pgbg.又四边形abcd是菱形且dab60，abd是正三角形，bgad.又adpgg，bg平面pad.(2)由(1)可知bgad，pgad，bgpgg，ad平面pbg.又pb平面pbg，adpb.反思与感悟当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线跟踪训练1如图，在三棱锥pabc中，pa平面abc，平面pab平面pbc.求证：bcab.证明如图，在平面pab内，作adpb于点d.平面pab平面pbc，且平面pab平面pbcpb，ad平面pbc.又bc平面pbc，adbc.又pa平面abc，bc平面abc，pabc.又paada，bc平面pab.又ab平面pab，bcab.类型二立体几何中的折叠问题例2如图，在矩形abcd中，ab2，ad1，e为cd的中点将ade沿ae折起，使平面ade平面abce，得到几何体dabce.求证：be平面ade.证明在ade中，ae2ad2de212122，在bce中，be2bc2ce212122，故在aeb中，ae2be2ab2，beae.又平面ade平面abce，且平面ade平面abceae，be平面abce，be平面ade.反思与感悟(1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变(2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性跟踪训练2如图所示，在平面四边形abcd中，abbccda，b90，c135.沿对角线ac将四边形折成直二面角，如图所示求证：平面abd平面bcd.证明acd1354590，cdac.由已知得二面角bacd是直二面角，过b作boac，垂足为o，由abbc知，o为ac的中点，作oeac交ad于点e，则boe90，booe.而oeaco，bo平面acd.cd平面acd，bocd.又acboo，cd平面abc，ab平面abc，abcd.由已知abc90，abbc.而bccdc，ab平面bcd.又ab平面abd，平面abd平面bcd.类型三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad.e和f分别是cd和pc的中点求证：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.证明(1)因为平面pad底面abcd，且pa垂直于这两个平面的交线ad，所以pa底面abcd.(2)因为abcd，cd2ab，e为cd的中点，所以abde，且abde，所以四边形abed为平行四边形，所以bead.又因为be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因为abad，而且四边形abed为平行四边形，所以becd，adcd.由(1)知pa底面abcd，所以pacd.又paada，所以cd平面pad，所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点，所以pdef，所以cdef.又efbee，所以cd平面bef.又cd平面pcd，所以平面bef平面pcd.反思与感悟(1)线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化：(2)在运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直跟踪训练3如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是正方形，sa平面abcd，且saab，点e为ab的中点，点f为sc的中点求证：(1)efcd；(2)平面scd平面sce.证明(1)连结ac，af，bf.sa平面abcd，ac平面abcd，saac.af为rtsac的斜边sc上的中线，afsc.又四边形abcd是正方形，bcab.而由sa平面abcd，得cbsa.又saaba.cb平面sab.sb平面sab，cbsb，bf为rtsbc的斜边sc上的中线，bfsc.afb为等腰三角形，e为ab的中点，efab.又cdab，efcd.(2)由已知易得rtsaertcbe，seec，即sec是等腰三角形，efsc.又efcd，且sccdc，ef平面scd.又ef平面sce，平面scd平面sce.1给出下列四个说法：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中正确的是_(填序号)答案解析中若两直线平行，则结论错误；正确；在空间中错误；正确2已知平面平面，直线a，则直线a与的位置关系可能是_(填序号)a；a；a与相交答案3若将边长为2的正方形abcd沿ac折叠成直二面角，则b，d两点间的距离为_答案24.如图，在三棱锥pabc内，侧面pac底面abc，且pac90，pa1，ab2，则pb_.答案解析侧面pac底面abc，交线为ac，pac90(即paac)，pa平面abc，paab，pb.5.如图所示，在四棱锥sabcd中，底面abcd是矩形，侧面sdc底面abcd，求证：平面sdc平面sbc.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明因为底面abcd是矩形，所以bccd.又平面sdc平面abcd，平面sdc平面abcdcd，bc平面abcd，所以bc平面sdc.又因为bc平面sbc，所以平面sdc平面sbc.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：一、填空题1下列命题中错误的是_(填序号)如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面；如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；如果平面平面，平面平面，l，那么l平面；如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面.答案解析如果平面平面，平面内的直线有的与平面平行，有的与平面相交，故错误2平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_答案平行解析，l，n，nl，n.又m，mn.3已知abc是等腰直角三角形，bac90，adbc，d为垂足，以ad为折痕，将abd和acd折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：bdcd；bdac；ad平面bcd；abc是等边三角形其中正确结论的个数为_答案4解析正确，因为bdc为二面角badc的平面角，由题意知bdc90，所以bdcd；正确，易知bd平面acd，所以bdac；正确，因为折叠后仍有adbd，addc，易知ad平面bcd；正确，因为adbddc，且以d为顶点的三个角都是直角，由勾股定理知abbcac，即abc为等边三角形4如图，平面abc平面bdc，bacbdc90，且abaca，则ad_.答案a解析取bc的中点m，连结am，dm，则ambc，由题意得am平面bdc，amd为直角三角形，且ammda，ada.5设l是直二面角，直线a，直线b，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的是_(填序号)a与b可能垂直，但不可能平行；a与b可能垂直，也可能平行；a与b不可能垂直，但可能平行；a与b不可能垂直，也不可能平行答案解析由题意知，当al，lb时，ab.故错；若ab，b与l不垂直，在b上取点a，过a作abl，由面面垂直的性质定理得ab.a，aba.又ab，abba，aal.这和a与l不垂直相矛盾不可能ab.故错，故填.6如图，已知平面平面，l，在l上取线段ab4，ac，bd分别在，内，且acab，dbab，ac3，bd6，则cd_.答案解析作aebd，使得aebd，连结de，ce，则四边形abde为矩形且aeab，dece，在rtace中，ce，在rtced中，cd.7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos cos _.答案2解析由题意，得两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos ，cos ，所以cos cos 2.8.如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，bac90，bc1ac，则点c1在底面abc上的射影h必在直线_上答案ab解析由acbc1，acab，bc1abb，bc1，ab平面abc1，得ac平面abc1.又ac平面abc，平面abc1平面abc.c1在平面abc上的射影h必在交线ab上9如图，在四边形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，将abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，构成三棱锥abcd，则在三棱锥abcd中，下列说法正确的是_(填序号)平面abd平面abc；平面adc平面bdc；平面abc平面bdc；平面adc平面abc.答案解析如图，在平面图形中cdbd，折起后仍然满足cdbd.由于平面abd平面bcd，故cd平面abd，cdab.又abad，故ab平面adc，又ab平面abc，所以平面adc平面abc.10在空间四边形abcd中，平面abd平面bcd，且da平面abc，则abc的形状是_三角形答案直角解析如图所示，连结bd，作aebd于点e，因为平面abd平面bcd，易知ae平面bcd，bc平面bcd，所以bcae.又因为ad平面abc，bc平面abc，所以bcad.又aeada，所以bc平面abd.而ab平面abd，则bcab，所以abc为直角三角形二、解答题11.如图，在四棱锥abcde中，底面bcde为矩形，侧面abc底面bcde，bc2，cd，abac.求证：adce.证明如图所示，作aobc，垂足为o，连结od.由于aobc且平面abc平面bcde，所以ao底面bcde，且o为bc的中点，由知，rtocdrtcde，从而odcced，于是ceod.又ceao，aoodo，ce平面aod.ad平面aod，adce.12.如图，在bcd中，bcd90，bccd1，ab平面bcd，adb60，e，f分别是ac，ad上的动点，且(01)(1)当为何值时，平面bef平面abc?(2)当为何值时，平面bef平面acd?解(1)ab平面bcd，abcd.又cdbc且abbcb，cd平面abc.又(01)，不论为何值，恒有efcd，ef平面abc.ef平面bef，不论为何值，恒有平面bef平面abc.(2)由(1)知，beef，又平面bef平面acd，平面bef平面acdef，be平面acd，beac.bccd1，bcd90，adb60，bd，abtan 60，ac.由ab2aeac，得ae，.故当时，平面bef平面acd.13.如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰三角形，abac，侧面bb1c1c底面abc.(1)若d是bc的中点，求证：adcc1；(2)过侧面bb1c1c的对角线bc1的平面交侧棱aa1于点m，若amma1，求证：截面mbc1侧面bb1c1c；(3)如果截面mbc1侧面bb1c1c，那么amma1吗？请你叙述判断理由(1)证明abac，d是bc的中点，adbc.底面abc侧面bb1c1c，平面abc侧面bb1c1cbc，ad侧面bb1c1c.又cc1平面bb1c1c，adcc1.(2)证明如图，延长b1a1与bm的延长线交于点n，连结c1n.amma1，ma1bb1，a1mbb1，na1a1b1.a1b1a1c1，a1c1a1na1b1，c1nc1b1.底面nb1c1侧面bb1c1c，平面nb1c1侧面bb1c1cc1b1，c1n侧面bb1c1c.又c1n平面mbc1，截面mbc1侧面bb1c1c.(3)解过点m作mebc1于点e，连结de.截面mbc1侧面bb1c1c，截面mbc1侧面bb1c1cbc1，me侧面bb1c1c.又ad侧面bb1c1c，mead，m，e，d，a四点共面am侧面bb1c1c，amde.amcc1，decc1.d是bc的中点，e是bc1的中点amdecc1aa1，amma1.三、探究与拓展14如图所示，已知两个正方形abc