人教A版选修22 1.5.2汽车行驶的路程 教案.doc

教学设计15.2汽车行驶的路程教材分析求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的思想方法和求解步骤都是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想课时分配1课时教学目标知识与技能目标了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)过程与方法目标通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶路程的有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想，以及运用类比的方法研究问题情感、态度与价值观在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的唯物主义的世界观重点难点重点：掌握求解过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近(取极限)难点：求解过程的理解教学方法运用类比的方法引导学生自主探究，归纳总结，在掌握知识的同时提升研究问题的能力教具准备多媒体、几何画板1连续函数的概念2求曲边梯形面积的基本思想和步骤3利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？提出问题1：汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为svt.如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22(t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在0t1这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？活动设计：学生首先独立思考，然后小组交流讨论提出各自的方法与见解，最终形成可操作的方案学情预测：学生可能从物理学的角度去思考、处理问题，也可能类比求曲边梯形面积的方法求解活动成果：如果从物理学的角度去思考、处理问题，由于没有现成的公式可用，于是想到类比求曲边梯形面积的方法求解，体现转化与化归的数学思想设计意图与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题把区间0,1等分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以近似地看作汽车作匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s(单位：km)的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到s(单位：km)的精确值(思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动的路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程) 提出问题2：请同学们按照我们讨论后拟定的方案，类比求曲边梯形面积的方法独立求解活动设计：类比求曲边梯形的面积，学生独立解决，必要时教师加以指导、提示学情预测：学生可能由于对第一节求曲边梯形面积的方法掌握不熟练，导致不能独立完整地解决活动成果：体会分割、以不变代变、求和、取极限的过程，感受在其过程中渗透的思想方法解：(1)分割在时间区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：0，1记第i个区间为，(i1,2，n)，其长度为t.把汽车在时间段0，1上行驶的路程分别记作：s1，s2，sn，显然，ssi.(2)近似代替当n很大，即t很小时，在区间，上，函数v(t)t22的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值v()()22.从物理意义上看，就是汽车在时间段，(i1,2，n)上速度的变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度v()()22做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”于是用小矩形的面积si近似地代替si，即在局部范围内“以直代曲”，则有sisiv()t()22()2(i1,2，n)(3)求和由得sn()t()20()2()221222(n1)222(1)(1)2.从而得到s的近似值ssn(1)(1)2.(4)取极限当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，sn(1)(1)2趋向于s，从而有ssnv() (1)(1)2.设计意图通过学生自己独立推导，进一步让学生理解、掌握极限思想，以及分析问题、解决问题的能力，努力培养学生将问题转化为熟悉问题的意识 提出问题3：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s与由直线t0，t1，v0和曲线vt22所围成的曲边梯形的面积有什么关系？活动设计：学生自己结合上一节曲边梯形面积的知识求出曲边梯形面积的表达式，进一步与求出的汽车行驶的路程的表达式比较，发现问题的本质，从而给出求变速直线运动路程的几何解释，即求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题活动成果：由于汽车行驶路程的表达式s(i)tv(i)与曲边梯形的面积表达式s(i)xf(i)在形式上是一致的，因此比较这两个式子，就可以推断出该路程在数值上等于教科书中图1.56所示的曲边梯形面积，即汽车行驶的路程ssn在数值上等于由直线t0，t1，v0和曲线vt22所围成的曲边梯形的面积一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在atb内所作的位移s.设计意图求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题，这样就可以在给出定积分的定义后，直接给出定积分的几何意义 例1弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力f(x)kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所作的功分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解解：将物体用常力f沿力的方向移动距离x，则所作的功为wfx.(1)分割在区间0，b上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：0，b，记第i个区间为，(i1,2，n)，其长度为x.把在分段0，b上所作的功分别记作：w1，w2，wn.(2)近似代替由条件知：wif()xk(i1,2，n)(3)求和wnwi012(n1)(1)从而得到w的近似值wwn(1)(4)取极限wwnwi (1)，所以弹簧从平衡位置拉长b所作的功为.巩固练习一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)t25(t的单位：h，v的单位：km/h)，计算这辆汽车在0t2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)答案：.达标检测已知某物体做直线运动，速度与时间t满足v(t)et，求物体在时间区间0,1内的运动距离答案：e1.1知识收获：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤解决问题的方法2方法收获：类比方法、数形结合方法3思维收获：类比思想、转化思想课本习题1.5b组第2题基础练习1物体以速度v(t)t2作直线运动，则在时间段0,1内运动的路程s为()a. b.c1 d.2已知物体做自由落体运动在t时刻的速度vgt(g是常数)，求在时间区间2,4内物体下落的距离s.答案：1.a2.6g拓展练习3以初速度40 m/s垂直向上抛一物体，t s时刻的速度为v4010t(单位：m/s)，问多少秒后此物体达到最高？最大高度是多少？答案：4秒后物体达到最高，最大高度是80 m.求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景，与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的方法和步骤是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想，所以本节课设计的主要意图是类比思考、自主探索，增强学生自主探究的意识与能力，引导学生类比求曲边梯形面积的过程，让他们自己独立解决问题，以进一步体会定积分的背景、思想和方法，为引入定积分的概念奠定基础客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能将运动现象用数学来加以描述了由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，数学发展的又一个里程碑式的事件微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期解析几何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端它对旧数学作了总结，使代数与几何融为一体，并引发出变量的概念变量，这是一个全新的概念，它为研究运动奠定了基础微积分学是微分学和积分学的总称，它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里”有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接结果在微积分的帮助下，万有引力定律被发现了，