苏教版必修2 2.1.6 点到直线的距离 学案.docx

2.1.6点到直线的距离学习目标1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题知识点一点到直线的距离思考点到直线的距离公式对于a0或b0时的直线是否仍然适用？答案仍然适用，当a0，b0时，直线l的方程为byc0，即y，d，适合公式当b0，a0时，直线l的方程为axc0，x，d，适合公式梳理(1)定义：点到直线的垂线段的长度(2)图示：(3)公式：d.知识点二两条平行直线间的距离思考直线l1：xy10上有a(1,0)，b(0,1)，c(1,2)三点，直线l2：xy10与直线l1平行，那么点a，b，c到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案点a，b，c到直线l2的距离分别为，.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等梳理(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离(4)公式：两条平行直线l1：axbyc10与l2：axbyc20之间的距离d(a，b不全为0)1点p(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()2直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离()3两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()类型一点到直线的距离例1(1)求点p(2，3)到下列直线的距离yx；3y4；x3.解yx可化为4x3y10，点p(2，3)到该直线的距离为.3y4可化为3y40，由点到直线的距离公式得.x3可化为x30，由点到直线的距离公式得1.(2)求过点m(1,2)，且与点a(2,3)，b(4,5)距离相等的直线l的方程解方法一当过点m(1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，恰好与a(2,3)，b(4,5)两点的距离相等，故x1满足题意当过点m(1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由点a(2,3)与b(4,5)到直线l的距离相等，得，解得k，此时l的方程为y2(x1)，即x3y50.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.方法二由题意得lab或l过ab的中点，当lab时，设直线ab的斜率为kab，直线l的斜率为kl，则klkab，此时直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过ab的中点(1,4)时，直线l的方程为x1.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.反思与感悟(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式点p在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用直线方程axbyc0，当a0或b0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意跟踪训练1(1)若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范围是_；(2)已知直线l过点p(3,4)且与点a(2,2)，b(4，2)等距离，则直线l的方程为_答案(1)(2)2xy20或2x3y180解析(1)由题意知3，解得a，故a的取值范围为.(2)过点p(3,4)且斜率不存在时的直线x3与a，b两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知得，k2或k，所求直线l的方程为2x3y180或2xy20.类型二两平行线间的距离例2(1)若两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为_(2)已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则直线l的方程为_答案(1)(2)2xy10解析(1)由题意，得，m2，将直线3xy30化为6x2y60，由两平行线间的距离公式，得.(2)设直线l的方程为2xyc0，由题意，得，解得c1，直线l的方程为2xy10.反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：axbyc10，l2：axbyc20(a，b不全为0)，且c1c2时，d.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等跟踪训练2(1)求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程；(2)两平行直线l1，l2分别过p1(1,0)，p2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程解(1)方法一设所求直线方程为5x12yc0，在直线5x12y60上取一点p0，则点p0到直线5x12yc0的距离为，由题意，得2，所以c32或c20，故所求直线方程为5x12y320或5x12y200.方法二设所求直线方程为5x12yc0，由两平行直线间的距离公式，得2，解得c32或c20，故所求直线方程为5x12y320或5x12y200.(2)依题意，两直线的斜率都存在，设l1：yk(x1)，即kxyk0，l2：ykx5，即kxy50.因为l1与l2的距离为5，所以5，解得k0或.所以l1和l2的方程分别为y0和y5或5x12y50和5x12y600.1点p(1,2)到直线3x10的距离为_答案解析点p(1,2)到直线3x10的距离为.2若点(1,2)到直线xya0的距离为，则实数a的值为_答案0或2解析由点到直线的距离公式，得，解得a0或2.3已知点p为x轴上一点，且点p到直线3x4y60的距离为6，则点p的坐标为_答案(12,0)或(8,0)解析设p(a,0)，则有6，解得a12或a8，点p的坐标为(12,0)或(8,0)4到直线3x4y10的距离为3，且与此直线平行的直线方程为_答案3x4y160或3x4y140解析在直线3x4y10上取点(1,1)设与直线3x4y10平行的直线方程为3x4ym0，则3，解得m16或m14，即所求直线方程为3x4y160或3x4y140.5若点p到直线5x12y130和直线3x4y50的距离相等，则点p的坐标应满足的方程是_答案32x56y650或7x4y0解析设点p的坐标为(x，y)，则根据题意得，整理得32x56y650或7x4y0.1点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式当直线与坐标轴垂直时可直接求之2利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰3已知两平行直线，其距离可利用公式d求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离一、填空题1点(1，1)到直线y1的距离是_答案2解析d2.2两平行线3x4y70和6x8y30之间的距离为_答案解析3x4y70可化为6x8y140，由两平行线间的距离公式，可得.3已知点a(3，4)，b(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a_.答案或解析由点到直线的距离公式，可得，化简得|3a3|6a4|，解得实数a或.4在平面直角坐标系xoy中，点p(2,2)到直线4x3y50的距离为_答案解析由点到直线的距离公式，得.5若两平行直线3x2y10与6xayc0之间的距离为，则的值为_答案1解析由3x2y10和6xayc0平行，得，所以a4.所以6x4yc0化为3x2y0.所以，解得c2或c6.所以1.6垂直于直线x3y50，且与点p(1,0)的距离是的直线l的方程为_答案3xy90或3xy30解析设与直线x3y50垂直的直线的方程为3xym0，则由点到直线的距离公式知，d，所以|m3|6，即m36，得m9或m3，故所求直线l的方程为3xy90或3xy30.7与点a(1,1)，b(2,2)的距离均为的直线的条数为_答案3解析共有3条，其中2条与a，b所在的直线平行，1条过线段ab的中点，且与a，b所在的直线垂直8已知在abc中，a(3,2)，b(1,5)，点c在直线3xy30上若abc的面积为10，则点c的坐标为_答案(1,0)或解析由ab5，abc的面积为10，得点c到直线ab的距离为4.设c(x,3x3)，利用点到直线的距离公式可求得x1或x.9若点(2，k)到直线5x12y60的距离是4，则k的值是_答案3或解析d，由题意知，4，即1，k3或k.10过两直线xy10和xy10的交点，并与原点的距离等于1的直线共有_条答案1解析联立得所以两直线的交点为(0,1)，因为交点到原点的距离为1，故只有1条11如图，已知直线l1：xy10，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，则l2的方程为_答案xy30解析设l2的方程为yxb(b1)，则图中a(1,0)，d(0,1)，b(b,0)，c(0，b)，ad，bcb.梯形的高h就是点a到直线l2的距离，故h(b1)，由梯形面积公式得4，b29，b3.但b1，b3.直线l2的方程是xy30.12已知a(4，3)，b(2，1)和直线l：4x3y20，则使papb，且点p到l的距离等于2的点p的坐标为_答案p(1，4)或解析由已知得ab的中点坐标为(3，2)，kab1，所以线段ab的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.设点p(a，b)，则p在直线xy50上，故ab50，又2，联立解得或故所求的点为p(1，4)或p.二、解答题13已知abc的顶点c在直线3xy0上，顶点a，b的坐标分别为(4,2)，(0,5)(1)求过点a且在x，y轴上的截距相等的直线方程；(2)若abc的面积为10，求顶点c的坐标解(1)当所求直线过原点时，直线的斜率为，直线方程为yx，即x2y0；当截距不为0时，易知直线的斜率为1，直线方程为y2(x4)，即xy60.所求直线方程为x2y0或xy60.(2)由顶点c在直线3xy0上，可设c(x0,3x0)，可求得直线ab的方程为3x4y200，则顶点c到直线ab的距离d|3x04|，且ab5，由sabcabd10，得|3x04|4，x00或x0，故顶点c的坐标为(0,0)或.三、探究与拓展14经过点p(3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为_答案x3或7x24y750解析当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x3的距离等于3，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y4k(x3)，即kxy3k40.原点到直线l的距离d3，解得k.所以直线l的方程为7x24y750.综上，直线l的方程为x3或7x24y750.15已知直线l1：2xya0(a0)，直线l2：4x2y10和直线l3：xy10，且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点p，使得点p同时满足下列三个条件：p是第一象限的点；点p到l1的距离是点p到l2的距离的