人教A版选修21 3.2 第1课时　空间向量与平行关系 学案.doc

3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法.(重点)2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.(重点、难点)基础初探教材整理1直线的方向向量与平面的法向量阅读教材p102p103“第2自然段”内容，完成下列问题.1.直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_的非零向量，一条直线的方向向量有_个.【答案】平行或共线无数2.平面的法向量的定义直线l，取直线l的_a，则a叫做平面的法向量.【答案】方向向量若a(1,0,1)，b(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()a.(1,2,3)b.(1,3,2)c.(2,1,3)d.(3,2,1)【解析】(2,4,6)2(1,2,3).【答案】a教材整理2空间中平行关系的向量表示阅读教材p102p103内容，完成下列问题.线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lm_线面平行设l的方向向量为a(a1，b1，c1)，的法向量为u(a2，b2，c2)，则l_面面平行设，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则_【答案】ab(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)au0a1a2b1b2c1c20uv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)若直线l的方向向量a(2,2，1)，平面的法向量(6,8,4)，则直线l与平面的位置关系是_.【解析】a121640，a，l或l.【答案】l或l小组合作型求平面的法向量已知abcd是直角梯形，abc90，sa平面abcd，saabbc1，ad，试建立适当的坐标系.图321(1)求平面abcd的一个法向量；(2)求平面sab的一个法向量；(3)求平面scd的一个法向量.【精彩点拨】(1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？【自主解答】以点a为原点，ad、ab、as所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(0,1,0)，c(1,1,0)，d，s(0,0,1).(1)sa平面abcd，(0,0,1)是平面abcd的一个法向量.(2)adab，adsa，ad平面sab，是平面sab的一个法向量.(3)在平面scd中，(1,1，1).设平面scd的法向量是n(x，y，z)，则n，n，所以得方程组令y1，得x2，z1，n(2，1,1).1.若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.2.一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n(x，y，z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.3.在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给x，y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.再练一题1.正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱a1d1、a1b1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求： 【导学号：37792126】图322(1)平面bdd1b1的一个法向量；(2)平面bdef的一个法向量.【解】设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则d(0,0,0)，b(2,2,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，e(1,0,2).(1)连接ac，因为ac平面bdd1b1，所以(2,2,0)为平面bdd1b1的一个法向量.(2)(2,2,0)，(1,0,2).设平面bdef的一个法向量为n(x，y，z).令x2，得y2，z1.n(2，2，1)即为平面bdef的一个法向量.利用空间向量证明线线平行如图323所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为dd1和bb1的中点.求证：四边形aec1f是平行四边形.图323【精彩点拨】两直线的方向向量满足什么条件能说明它们平行？【自主解答】以点d为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，e，c1(0,1,1)，f，又fae，fec1，aefc1，ec1af，四边形aec1f是平行四边形.1.两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面.2.直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.3.两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直.再练一题2.长方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是面对角线b1d1，a1b上的点，且d1e2eb1，bf2fa1.求证：efac1. 【导学号：37792127】【证明】如图所示，分别以da，dc，dd1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设daa，dcb，dd1c，则得下列各点的坐标：a(a,0,0)，c1(0，b，c)，e，f.，(a，b，c)，.又fe与ac1不共线，直线efac1.探究共研型利用空间向量证明线面、面面平行探究利用待定系数法求平面法向量的解题步骤是什么？【提示】已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，e，f分别是bb1，dd1的中点，求证：(1)fc1平面ade；(2)平面ade平面b1c1f.【精彩点拨】利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系dxyz，则有d(0,0,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)，e(2,2,1)，f(0,0,1)，b1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1).(1)设n1(x1，y1，z1)是平面ade的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2).因为n1220，所以n1.又因为fc1平面ade，所以fc1平面ade.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面b1c1f的一个法向量.由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ade平面b1c1f.1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直.2.利用空间向量证明面面平行，求出两平面的法向量，若两法向量是共线向量，则可判定两平面平行.再练一题3.在如图324所示的多面体中，ef平面aeb，aeeb，adef，efbc，bc2ad4，ef3，aebe2，g是bc的中点，求证：ab平面deg.图324【证明】ef平面aeb，ae平面aeb，be平面aeb，efae，efbe.又aeeb，eb，ef，ea两两垂直.以点e为坐标原点，eb，ef，ea分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(2,4,0)，f(0,3,0)，d(0,2,2)，g(2，2,0)，(0,2,2)，(2,2,0)，(2,0，2).设平面deg的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得z1，x1，则n(1,1，1)，n2020，即n.ab平面deg，ab平面deg.1.给定下列命题：若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量，且向量a，则an0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是()a.1 b.2c.3d.4【解析】正确，中由，得n1n2.【答案】c2.已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()a.x6，y15b.x3，yc.x3，y15d.x6，y【解析】l1l2，ab，存在r，使ab，则有23，4x,5y，x6，y.【答案】d3.已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，且l，则m_.【解析】l，l的方向向量与的法向量垂直.(2，m,1)2m20.解得m8.【答案】84.如图325，abedfc为多面体，平面abed与平面acfd垂直，点o在线段ad上，oa1，od2，oab，oac，ode