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第二章 圆锥曲线与方程 2 4抛物线 2 4 2抛物线的简单几何性质 第2课时直线与抛物线的位置关系 自主预习学案 提示 手电筒内 在小灯泡的后面有一个反光镜 镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面 这种曲面叫抛物面 抛物线有一条重要性质 从焦点发出的光线 经过抛物面上的一点反射后 反射光线平行于抛物线的轴射出 手电筒就是利用这个原理设计的 一只很小的灯泡发出的光 会分散地射向各方 但把它装在手电筒里 经过适当调节 就能射出一束较强的平行光 这是什么原因呢 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线公共点的个数可以有 将直线方程与抛物线方程联立 消元后得到一元二次方程 若 0 则直线与抛物线 若 0 则直线与抛物线 若 0 则直线与抛物线 特别地 当直线与抛物线的轴平行时 直线与抛物线有 个公共点 0个 1个或2个 相切 相交 没有公共点 一 c c c y x 2 互动探究学案 命题方向1 直线与抛物线的位置关系 规律总结 直线与抛物线交点个数的判断方法设直线l y kx m 抛物线 y2 2px p 0 将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2 bx c 0 若a 0 当 0时 直线与抛物线相交 有两个交点 当 0时 直线与抛物线相切 有一个交点 当 0时 直线与抛物线相离 无交点 若a 0 直线与抛物线有一个交点 此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合 因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件 命题方向2 与抛物线有关的中点弦问题 命题方向3 抛物线性质的综合应用 规律总结 应用抛物线性质解题的常用技巧1 抛物线的中点弦问题用点差法较简便 2 轴对称问题 一是抓住对称两点的中点在对称轴上 二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系 3 在直线和抛物线的综合题中 经常遇到求定值 过定点问题 解决这类问题的方法很多 如斜率法 方程法 向量法 参数法等 解决这些问题的关键是代换和转化 4 圆锥曲线中的定点 定值问题 常选择一参数来表示要研究问题中的几何量 通过运算找到定点 定值 说明与参数无关 也常用特值探路法找定点 定值 与抛物线有关的最值问题的再探究 1 具备定义背景的最值问题 可用定义转化为几何问题来处理 2 最值问题常用方法是由条件建立目标函数 然后利用函数求最值的方法进行求解 如利用二次函数在闭区间上最值的求法 利用函数的单调性等 亦可用均值不等式求解 导师点睛 常见题型及处理方法 1 求抛物线上一点到定直线的最小距离 可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离 再利用函数求最值的方法求解 亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题 2 求抛物线上一点到定点的最值问题 可以利用两点间的距离公式表示出所求距离 再利用函数求最值的方法求解 要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围 0 0 辨析 本题造成错解的原因有两个 一是遗漏了直线不存在斜率的情况 只考虑了斜率存
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