机械毕业设计908基于UG的三元整体叶轮的曲面造型论文.doc
机械毕业设计908基于UG的三元整体叶轮的曲面造型论文
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机械毕业设计908基于UG的三元整体叶轮的曲面造型论文,机械毕业设计论文
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1 基于 UG三元整体叶轮曲面造型的研究 1 绪论 1.1 论文背景 一些复杂的物体表面，如汽车 车身、飞机机身、汽轮机叶片、模具型面等呈流线型自由曲面。所谓 自由曲面是指不能用基本立体要素 (棱柱、棱锥、球、一般回转体、有界平面等 )描述的呈自然形状的曲面，必须根据空间自由曲线和自由曲面的理论进行计算 。 自由曲面形状复杂，不能用简单的曲面数学模型来表示，许多年来人们不断的探索方便、灵活、实用的自由曲面的造型方法。 而且 具有自由曲面的零件的生产，一般来说是单件或小批量生产，传统的加工方法是由毛坯制造、砂轮打磨、样件检验等 主要工序组成，这个过程周期一般较长，工人劳动强度大，而且不易保证加工精度，材料和工装设备浪费现象严重近年来，随着大量进口数控机床的引进和国产数控机床的研制，目前我国拥有的数控机床和加工中心中，三坐标机床占主流，四轴或五轴联动的数控加工机床也在逐渐涌现。这些使得具有自由曲面的零件的加工精度和加工效率都得到了很大的提高，而加工难度和劳动强度也随之大幅度减小。虽然目前出现了许多 CAD/CAM 软 件，但是其普及程度并不高。 一方面是因为这些软件所提供的通用模块并不完全符合实际生产的需要，另一方面一些数控机床附带软件其各 个模块大多都进行了封装，只能完成某些特定的功能，用户无法对其进行二次开发以添加满足用户实际需要的功能，用户只能向软件开发公司定制，制约了对核心技术的掌握和生产的发展。 自由曲面的制造己开始迈入计算机辅助制造的行列，要进行自由曲面的数控加工，首要任务是进行自由曲面的构造。这就对自由曲面的造型技术提出了较高的要求。由于工程实际中给定型值点的自由曲面型面是典型的三维曲面，求解数控加工此类曲面的关键在于构造满足数控加工需要的自由曲面。 自由曲线曲面造型方法经历了 参数样条方法，孔斯曲面， 贝塞尔曲面， B样条曲面，直到当前 CAD/CAM系统中曲面造型的主流方法 :NURBS曲面造型方法。 NURBS造型方法通过控制点建立自由曲面的数学模型，统一了有理曲面和非有理曲面的数学描述，而且可以通过调整局部的控制点和权因子nts 2 来局部修改自 由曲面的形状，有利于方便的对曲面进行部分修改，所以逐渐成为自由曲面造型理论的主流方法 2。 为后续的自由曲面的数控加工创造便利条件。 正是在这种前提下， 对基于 UG 三元整体叶轮曲面造型的研究意义重大，而且我国在这个领域起步较晚，具有很大的研究发展空间，因此本文选此课题进行设计与研究。 1.2 文献综述 1.2.1 自由曲面的 CAD/CAM 的发展及现状 自由曲面形状复杂，不能用简单的曲面数学模型来表示，许多年来人们不断的探索方便、灵活、实用的自由曲面的造型方法。而且 具有自由曲面的零件的生产，一般来说是单件或小批量生产，传统的加工方法是由毛坯制造、砂轮打磨、样件检验等主要工序组成，这个过程周期一般较长，工人劳动强度大，而且不易保证加工精度，材料和工装设备浪费现象严重近年来，随着大量进口数控机床的引进和国产数控机床的研制，目前我国拥有的数控机床和加工中心中，三坐标机床占主流，四轴或五轴联动的数控加工机床也在逐渐涌现。这 些使得具有自由曲面的零件的加工精度和加工效率都得到了很大的提高，而加工难度和劳动强度也随之大幅度减小。虽然目前出现了许多 CAD/CAM 软件，但是其普及程度并不高。一方面是因为这些软件所提供的通用模块并不完全符合实际生产的需要，另一方面一些数控机床附带软件其各个模块大多都进行了封装，只能完成某些特定的功能，用户无法对其进行二次开发以添加满足用户实际需要的功能，用户只能向软件开发公司定制，制约了对核心技术的掌握和生产的发展。 自由曲面的制造己开始迈入计算机辅助制造的行列，要进行自由曲面的数控加工，首要任务是进行 自由曲面的构造。这就对自由曲面的造型技术提出了较高的要求。由于工程实际中给定型值点的自由曲面型面是典型的三维曲面，求解数控加工此类曲面的关键在于构造满足数控加工需要的自由曲面。 自由曲线曲面造型方法经历了参数样条方法，孔斯曲面，贝塞尔曲面， B样条曲面，直到当前 CAD/CAM系统中曲面造型的主流方法 :NURBS曲面造型方法。 NURBS造型方法通过控制点建立自由曲面的数学模型，统一了有理曲面和非有理曲面的数学描述，而且可以通过调整局部的控制点和权因子nts 3 来局部修改自由曲面的形状，有利于方便的对曲面进行部分修改，所以逐 渐成为自由曲面造型理论的主流方法 2。 为后续的自由曲面的数控加工创造便利条件。 美、法等国的 CAD技术一直以来走在世界的前沿，他们拥有许多世界闻名的CAD/CAM系统，这些系统具备十分强大的功能。美国 SDRC公司的 I-DEAS Master Series软件采用 VGX(超变量化 )技术，用户可以直观、实时地进行三维产品的设计和修改。VGX有如下好处 :不必像参数化造型系统那样要求模型“全约束”，在全约束及非全约束的情况下均可顺利地完成造型；模型修改不必拘泥于造型历史树，修改可基于造型树，亦可超越造型历史树；可 直接编辑任意 3D实体特征，无须回到生成此特征的 2D线框初始状态；可就地以拖动方式随意修改 3D实体模型 ,而无须仅以“尺寸驱动”一种方式来修改模型；模型修改许可形状及拓扑关系发生变化，而并非像参数技术那样仅仅是尺寸的数据发生变化；所有操作均为“一拖一放”方式，操作简单。 美国 Unigraphics Solutions公司的 UG源于航空业、汽车业，以 Parasolid几何造型核心为基础，采用基于约束的特征建模和传统儿何建模为一体的复合建摸技术。其曲面功能包含于 Freeform Modeling模块之中， 采用了 NURBS、 B样条、 Bezier数学基础，同时保留解析几何实体模型方法，造型能力较强。其曲面建模完全集成在实体建模之中，并可独立生成自由形状形体，以备实体设计时使用。而许多曲面建模操作可直接产生或修改实体模型，曲面壳体、实体与定义他们的几何体完全相关。 UG软件实现了面与体的完美集成，可将无厚度曲面壳缝合到实体上 ,总体上， UG的实体化曲面处理能力是其主要特征和优势 6。 美国 PTC公司的 Pro/Engineer以其参数化、基于特征、全相关等概念闻名于 CAD界，其曲面造型集中在 Pro/SURFACE模块。其曲面生成、编辑能力覆盖了曲面造型中的主要问题 .主要用于构造表面模型，实体模型，并且可以在实体上生成任意凹下或凸起物等。尤其是可以将特殊的曲面造型实例作为一种特征加入特征库中。 Pro/Eng- ineer自带的特征库就含有如下特征 :复杂拱形表面、三维扫描外形、复杂的非平行或旋转混合、混合 /扫描、管道等等。该软件的曲面处理能力仅适合于通用的机械设计中较常见的曲面造型间题 7。 美国 IBM公司的 CATIA/CADAM (Dassault Svstem公司开发 )是一个广泛的 CAD/DAM /CAE/PDM应用系统。该系统有关曲面的模块包括 :曲面设计 (Surface design)、高级曲面设计 (Advanced surface design)、自由外形设计 (Free form design)、整体外形修形 (Global shape deformation)、创成式外形修形 (Generative shape modeling)和白车身设计 (Bodywhite templates)等。 CATIA外形设计和风格设计解决方案对零件nts 4 提供了广泛的集成化工具。该系统具有很强的曲面造型功能。 还有法国 Matra一 Data Vision公司的 Euclid集成系统是一个集机械设计与工厂设计于一身的企业级并行工程解决方案，其曲面功能在“ ASD高级曲面设计”之中。美国 CV公司的 CADDS5软件的 NURBS曲面设计模块是 CV公司用以完成大型复杂曲面造型的专用工具。 NURBS集成于清晰造型的数据库结构中，但其强大的曲面裁减使得曲面构成的实体可贯穿参数设计、详细设计、加工、分析的全过程。 预计在不久的将来，微机 CAD/CAM系统将以其良好的 2D设计 /绘图、 3D实体 /曲面造型、数控加工、工程数据管理，物性分析的 集成化优势而得到广泛的应用和发展。 1.2.2 自由曲面造型技术的发展及现状 从研究的领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性。 1） 曲面变形 (Deformation or Shape Blending) 传统的 NURBS曲面模型仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状 ,最多利用层次细化模型在曲面特定点进行直接操作 ;一些简单的基厂参数曲线的曲面设计方法，如扫掠法 (Sweeping),蒙皮法 (Skinning) ,旋转法 和拉伸法也仅允许调整生成曲线来改变曲面形状。计算机动画业和实体造型业迫切需要发展与曲面表示方式无关的变形方法或形状调配方法，于是产生了自由变形 (FFD)、基于弹性变形或热弹性力学等物理模型的变形法、基于求解约束的变形法、基于几何约束的变形法等曲面变形技术，以及基于多面体对应关系或基于图像形态学中 Minkowski和操作的曲面形状调配技术。 2） 曲面重建 (Reconstuction) 在精致的轿车车身设计或人脸类雕塑曲面的动画制作中，常先用油泥制模，再作三维型值点采样。在医学图像可视化中，也常用 CT切片来得到人体脏器表面的三维数据点。从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲面的几何模型，称为曲面重建，采样工具为激光测距扫描器、医学成像仪、接触探测数字转换器、雷达或地震勘探仪器等。根据重建的形式，其可以分为函数型曲面重建和离散型曲面重建。前者代表工作有 Eck于 1996年建立的任意拓扑 B样条曲面重建法和 Sapidis于 1995年创造的离散点集拟和法。后者的常用方法是建立离散点集的平面片逼近模型 ,如 Hoppcy于 1992年和 1994年光后创建的分片线性或分片光滑的曲面模型。对于离散型重建，要求输出曲面具有正nts 5 确的拓 扑结构，并且随着采样密度的增加而收敛到原始曲面，当重建曲面为闭曲面时，Willer等人发展出一种基于可变形模型的曲面重建算法，称为外壳 (Crust)算法。这种算法的优点在于输出的离散曲面在细节区域具有密集点，而在无特征的区域具有稀疏点。最近几年，曲面重建的研究形成了热潮。 3） 曲面简化 (Surfaces Simplification) 与曲面重建一样，这一研究领域目前也是国际热点之一，其基本思想在于从二维重建后的离散曲而或造型软件的输出结果 (主要是三角网络 )中去除冗余信息而又保证模型的准确度，以利 于图形显示的实时性、数据存储的经济性和数据传输的快速性。对于多分辨率曲面模型而言，这一技术还有利于建立曲面的层次逼近模型，进行曲面的分层显示、传输和编辑具休的曲面简化方法有网格顶点剔除法、网格边界删除法、网格优化法、最大平面逼近多边形法以及参数化重新采样法。 4） 曲面转换 (Conversion) 同一张曲面可以表示为不同的数学形式，这一思想不仅具有理论意义，而且具有工业应用的现实意义。例如， NURBS这种参数有理多项式曲面虽然包括了参数多项式曲面的一切优点，但也存在着微分运算繁琐费时、积分运算无法 控制误差的局限性。而在曲面拼接及物性计算中，这两种运算是不可避免的这就提出了将一张 NURBS曲面转化成近似的多项式曲面的问题，同样的要求更体现在 NURBS曲面设计系统与多项式曲面系统之间的数据传递和无纸化生产工艺中。再如，在两张参数曲面的求交运算中，如果把其中一张曲面的 NURBS形式转化为隐式，就容易得到方程的数值解。近几年来，国际图形界对曲面转换的研究主要集中在以下几点 ;NURBS曲面用多项式曲面来逼近的算法及收敛性 ;Bezier曲线曲面的隐式化及其反问题 ;CONSURF飞机设计系统的 Ball曲线向高维推 广的各种形式比较及相互转化 ;有理 Bezie曲线曲面的降价逼近算法及误差估计 ;NURBS曲面在三角域上的互相快速转换。 5） 曲面等距性 (Offset) 其在计算机图形及加工中有着广泛的应用，因而成为这几年的热门话题之一。例如，数控机床的刀具路径设计就要研究曲线的等距性。但从数学表达式中很容易看出，一般而言，一条平面曲线的等距曲线不再是有理曲线，这就超越了通用 NURBS系统的使用范围，造成了软件设计的复杂性和数值计算的不稳定性。为解决这一问题，十几年来国际图形界提出了用简单曲线来逼近等距曲线的种种算法 ，这又带来了收敛性考核、计算不稳定、误差难控制等问题。那么，是否存在具有精确有理等距曲线的某种参数曲线呢 ? 1990年美国学者 Farouki首次找到某一类特殊的平面参数多项式曲线具nts 6 有这种性质，称之为 PH曲线而到 1993年，浙江大学的吕伟利用复分析法、重新参数化和代数几何技术，完整地给出了 OR多项式和有理参数曲线的一般形式，彻底解决了平面曲线的等距线的有理化问题。在曲线等距性问题上，吕伟于 1996年证明了常用二次曲面 的有理等距线均可用有理参数样条精确表示的结论 ;同年他与奥地利学者Pottmann等揭示出有理直 纹面的等距面可以有理参数化，同时证明了脊线为有理样条曲线的管道曲面可以精确表示为有理样条曲面。曲线曲面的等距性还与机械学中的形位公差理论及几何设计中的区间曲线曲面有着密切的关系。 从表示方法来看，以网格细分（ Subdivision）为特征的离散造型与传统的连续造型相比，大有后来居上的创新之势。例如用 NURBS的修剪来对付，但是他们至少会遇到以下困难 :修剪是昂贵的，而且有数值误差 ;要在曲面的接缝处保持光滑，即使是近似的光滑也很困难，因为模型是活动的。而细分曲面有潜力克服以上两个困难，其无须修剪，活动模型的平滑 度被自动地保证。如果多面体的一个面有 n条边，细分一次后，这个面就会变成 n个四边形。随着细分的不断进行，控制网格就被逐渐磨光，其极限状态就是一张自由曲面。其是无缝的，因而是平滑的，即使模型是活动的。这种方法显著地压缩了设计和建立一个原始模型的时间，更重要的是允许原始模型局部地精致化。这就是其优于连续曲面造型方法之处。 1.3 论文的主要工作 三元整体叶轮曲面造型的研究关键在于如何由点生成曲线、由曲线生成曲面、由片体生成曲面，进而产生空间叶轮实体。本文主要工作内容如下： 1） 研究自由曲面造型方法。 2）研究直纹 面的几何特性。 3）采用 UG/Open GRIP编程构造的方法生成叶片的曲线。 4）完成三元整体叶轮的曲面造型。 nts 7 2 自由曲面造型的技术 2.1 引言 1963年美国波音 (Boeing)飞机公司的弗格森 (Ferguson)首先提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数方法。他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四点的位置矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双三次曲面片。从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。 1964年美国麻省理工学院 (MIT)的孔斯 (Coons)发表了一个具有一般性的曲面描 述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面片。1967年，孔斯进一步推广了他的这一思想。但是前述两种方法对曲线、曲面的形状不易控制 ;修改任意一个型值点都会影响整条曲线和整张曲面的形状，且形状变化难以预测，即不具备局部性。因此这两种方法都属于构造插值曲线和插值曲面的方法，不适用于进行曲线或曲面的设计。 1971年法国雷诺 (Renault)汽车公司的贝齐尔 (Bezier)提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。设计员只要移动控制定点就可方便地修改曲线的形状，而且形状的变化完全在预料之中。贝齐尔方法简单易用 ，又漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但贝齐尔方法仍存在连接问题和局部修改问题。 1972年，德布尔 (de-Boor)总结给出了关于 B样条的一套标准算法， 1974年美国通用汽车公司的戈登 (Gordon)和里森费尔德 (Riesenfeld)又把 B样条理论引入曲线曲面设计系统， B样条方法几乎继承了贝齐尔方法的一切优点，贝齐尔曲线曲面被看作为 B样条曲线曲面的一种特例，而 B样条方法比贝齐尔方法更具一般性，即任何分段光滑多项式曲线曲面均可用 B样条曲 线曲面表示。 B样条基函数具有计算稳定、快速的特点，同时 B样条曲线曲面具有局部可修改性 .较成功地解决了贝齐尔方法的局部控制问题，并在参数连续性基础上解决了连接问题，具有较强几何造型能力 . 1975年美国锡拉丘兹 (Syracuse)大学的弗斯普里尔 (Versprille)在他的博士论文里将 B样条理论推广到有理情况，首先提出了非均匀有理 B样 (non-uniform rational B-Spline，简称 NURBS)这个概念。后来主要由于皮格尔 PiegI)和蒂勒(Tiller)2等人对非均匀有理 B样条方法进 行的深入研究，使这一方法在理论和实用上逐步趋向成熟。至 80年代后期， NURBS方法发展为曲线曲面造型方法中最为先进的技术。但由于权因子与参数化问题至今还没有完全解决， NURBS方法存在数值不稳定nts 8 的问题 3。表 1对这几种方法的优缺点作了一比较。 表 2-1 曲面造型方法的比较 方法 特点 缺点 Coons曲面法 简单易行、编辑方便、插值精度高 设计曲面时，需要用到切矢、扭矢，不直观，难于控制 Bezier曲面法 核体逼近，具有对称性，网格的四个角点位于曲面上 控制多边形顶点数目决定了曲面的阶次，缺 乏局部修改性 B样条曲面法 阶次与控制顶点数目无关，具有局部可修改性，曲面片之间无条件光滑拼接 曲面片一般不通过特征网格的任意一个顶点 NURBS曲面法 对标准的解析曲线 (如圆锥曲线等 )和自由曲线提供了统一的数学描述，保留了 B样条曲线的节点插入、修改、分割以及修改控制点等强有力的技术，而且还具有修改权因子来修改曲线形状的能力 计算量较大。影响软件的运行速度，耗费的存储量较大。而且当权因子为零和负值时容易引起计算的不稳定，导致发生畸变 在形状设计领域中，设计人员通常是从二维的情况开始定义对象的关键 形状，在构造好曲线的基础上，利用曲面生成方法产生复杂的三维形态 .构造出精确的曲线是生成最终物体形状的关键和基础 .常用的曲线构造方法为 :控制顶点输入法 ;插值点输入法 ;从已知曲面上生成曲线法等。需要确定的参数有 :曲线的次数、节点矢量及控制顶点。 80年代末至 90年代初，曲面造型领域的发展又出现了新的特点。在某些应用领域，因为力学的原因，人们不满足于现有数学模型下的曲面造型技术，开始探索基于其它数学描述方法的新的曲面造型技术，例如，物理曲面造型、流线型曲面造型等。 工程实际中给定截面型值点的自由曲面是典型的三维曲面 ，求解数控加工此类曲面的关键在于构造满足数控加工需要的自由曲面。 1988年 Woodwardlw针对按截面测量所得数据，提出了一种 B样条曲面插值算法，即蒙皮法生成曲面。但这种方法要求数据点呈拓扑矩形阵列，即各截面数据点数完全相同。由于测量得到的原始数据点，本身就包含测量误差，采用插值算法容易出现波动，光顺性较差，因此采用曲面逼近更接近工程实际。王国瑾等提出了 B样条光顺准逼近的思想，即在有约束条件处通过型nts 9 值点，其它部分用逼近数据点来产生 ;蒋人为也提出了运用重顶点的方法来解决有约束条件的曲面逼近问题 ;1999年， 彭芳瑜等提出基于最小二乘法的曲面生成算法。它在插值的思想上融合逼近的思想，解决了蒙皮法中因截面线族不均匀而导致的曲面光顺性不好的问题 ;2002年，张丽艳 6结合二分法和最小二乘法，对截面曲线进行逼近 .构造出 B样条截面曲线，最后用截面曲线构造蒙皮曲山。即最终的 B样条曲面。 目前，曲面造型领域的发展又出现了新的特点 9， 10。在某些应用领域，人们不满足于现有数学模型下的曲面造型技术，开始探索基于其它数学描述方法的新的曲面造型技术，如物理曲面造型、流线型曲面造型等。新的造型方法得到广泛的研究和探索，这些都将为 曲线曲面的深入研究提供新的思想，为计算机辅助制造创造更加便利的条件。 通常来讲，双三次 B样条曲面能满足设计者的要求，此时能保证曲面间连续。节点矢量的选取对曲面的品质十分重要。选取节点参数的方法有均匀 (等距 )参数化法、积累弦长参数化 (弦长参数化 )法、向心参数化 (弦长的平方根 )法、修正弦长参数化法等。通常采用积累弦长参数化方法求解节点矢量。形状设计中，设计人员头脑里一般直接考虑的是曲线的大致形状，而非控制多边形的形状。因此通常是通过给出曲线上的一些点，反算出曲线的控制顶点，再由控制点得到曲线。常用方法为插值法和 最小二乘逼近两种方法。插值法要求得到的曲线通过己知数据点，最小二乘逼近法一般不要求曲线通过已知数据点，只要求数据点与得到的曲线上对应点距离的平方和为最小。 对曲线形状的控制有三个途径 :1)通过移动控制顶点来改变曲线形状 ;2)修改节点矢量 ;3)移动数据点并重新计算。常用的方法有节点插入与曲线升阶两种方法来对曲线形状进行控制。插入节点算法是 B样条方法配套技术中最重要的技术之一。通过插入节点，可以进一步改善 B样条曲线的局部性质，提高对 B样条曲线形状控制的潜在灵活性 ;可以实现对曲线的分割 ;可以在生成曲面时使不同的节 点矢量统一起来等 ;1980年伯姆 (Boehm)5给出了 B样条曲线节点插入算法，给出了未知新顶点的计算公式，提出可通过将同一节点插入 k次，得到对应 B样条曲线上的点。科恩 (Cohen)等人 6也提出同时可以插入多个节点的奥斯陆 (Oslo)算法。伯姆算法简单，算法效率高，并且几何直观，易为工程实际所接受。 B样条升阶是 B样条方法配套技术中另一项重要的技术。其重要性主要表现为 :升阶可以增加几何造型的柔性，通过升阶，增加了控制定点数，提高形状控制的灵活性 ;升阶是设计组合曲线时必不可少的工具和手段 ;升阶是构造蒙皮、 扫描曲面和组合曲面的重要 T-具。 1984年，普劳茨 (Prautzsch)提nts 10 出一个 B样条曲线的升阶算法 7给出了确定 B样条曲线升阶后未知新顶点的算法。随后在 1991年又对该算法进行了改进 8，使它线性依赖于节点数和曲线阶次，速度更快，但算法复杂。 Cohen等在 1988年提出了递归升阶方法 9，它基于离散 B样条，无需调用节点插入的算法，直接用递推公式进行升阶，易于实现。另外还有 Piegl等提出了基于 Bezier曲线升阶的方法 10，秦开怀指出 11.12.13传统的升阶方法只适用于端点插值 B样条曲线和 周期性 B样条曲线的升阶，对于其它的非端点插值的 B样条曲线的升阶问题却无法解决。他给出了解决传统 B样条曲线升阶理论中的这些问题的一般算法。 B样条基函数的递推算法、节点插入算法和升阶算法就构成了 B样条曲线曲面的 B样条拟合曲曲造型的理论基础和基本算法体系。 复杂形状零件是数控加工的主要对象，为了对这类零件的加工进行编程，首先必须进行几何建模。曲面造型技术是复杂形状零件建模的基础及工具，也是几何造型技术的重要分支之一。随着 CAD/CAM 应用的不断深化，目前对曲线曲面已经形成了一套较为完整的理论和方法体系，包括参数曲 线曲面理论、 Bezier 方法、 B样条方法等。 三次 B样条曲线具有 C2级连续，通常它已能满足工程外形曲线连续阶的要求。因此，在工程上所采用的 B样条曲线，一般指的是这种曲线。基于此，本文将采用以三次 B样条曲线为基础的双三次 B样条曲面对自由曲面进行造型。 2.2 曲面造型的几何基础 2.2.1 B 样条曲线和曲面 1） B样条基函数的定义 14 在区间 a,b 上，取分割 bxxxan 10为节点（ knot），构造 B样条基函数为 : )()()(011,11111,0,xNxxxxxNxxxxxNNkiikikikiikiikii （ 2.1） 在公式中第一项0,iN在当1 ii xxx时取 1，在其他情况下取 0；规定 0/0 0；其中 B样条基函数 )(, xNki的第一个 i下标表示序号，第二个下标 k表示基函数的次数。该递推公式表明，欲确定第 i个 k次 B样条基 )(, xNki，需要用到11 , kiii xxx 共 k+2个节点。区间 1, kii xx 为 )(, xN ki的支撑区间，也就是说 )(, xN ki仅在这个区间内的值不为零。 nts 11 2） B样条曲线的定义 设有一组节点序列 nixi ,2,1,0 ，由其确定的 B样条基函数 )(, xNki，有一顶点系列 ),2,1,0( niVi 构成特征多边形，将 )(, xNki与iV线性组合，得到 k 次（ k+1）阶 B 样条曲线，其方程为： ni iki VxNxr 0 , )()( a x b （ 2.2） 其中 r(x)是参数 x的 k次分段多项式。 3） B样条曲线的数学模型 设空间有 k+n+1个点， 则称下列函数所决定的参数曲线为第 1段 k次 B样条曲线 : (2.3) 由各段曲线 组成的整体曲线 ，称为 k次 B样条曲线。其中 (2.4) 4） B样条曲面的定义 定义一张 lk 次张量积 B样条曲面，其方程为： jiljminj kiVNNr ,0 0 , 0， 1 （ 2.5） 其中 njmiVji ,1,0;,1,0, 是（ m n）（ n+1）阵列，构成一张特征网络； kiN,、 ljN , 分别是定义在节点矢量 110 , kmU ， 110 , lnW 上的 B 样条基函数。 2.2.2 三次 B 样条曲线的主要性质 由 式 (2.3)可知 ，每 4个 控制顶点定义一条三次样条曲线。通常特征多边形的顶点数都多于 4个，每增加一个顶点，相应地就增加一段 B样条曲线，假定增加的点为，则 就决定了新增加的三次 B样条曲线。如果有 n个顶点，那么就有 (n一 3)段曲线。所以 B样条曲线段的性质就是整体 B样条曲线的性质，如下所述。 由（ 2.5） 式得三次 B样条曲线的矢值方程为 ： (2.6) 由 （ 2.6） 式得 nts 12 代入 (2.6)式得第 i段的三次 B样条曲线为 (2.7) 写成矩阵形式为 : (2.8) 1） 曲线的起点和终点，一般情况下不过起始控制顶点与终止控制顶点。 对三次 B样条曲线段式而言 : （ 2.9） 图 2-1 三次 B样条曲线段 2） 曲线在起点与终点处的切线，与控制多边形的起始边与终止边，有着密切的关系。 nts 13 （ 2.10） （ 2.11） 这表明三次 B样条曲线段起点的切向量平行于 ViVi+1Vi+2的边 ViVi+2， 长度为它的二分之一 ;终点处的切向量平行于 Vi+1Vi+2Vi+3的边 Vi+1Vi+3。，长度为它的 二分之一。如图 2-1所示。 3） 用三次 B样条曲线段能自然的连接成整体的三次 B样条曲线，不需要任何附加条件 。 这是因为在连结点处，一阶导数、二阶导数均连续。即前一曲线段 (控制 点为 Vi，Vi+1， Vi+2， Vi+3)终点的切向量，恰好是下一曲线段 (控制点为 Vi+1， Vi+2， Vi+3， Vi+4)起点的切向量 ;前一曲线段终点的二阶导向量，恰好是一 曲线段起点的二阶导向量 。 切线量相等可从 (2.9)式看出。二阶导向量相等可从 (2.10)式看出。 将 (2.10)对 u再求导，得 （ 2.12） 4） 具有局部可调性 三次 B样条曲线的各段仅由相邻的四个顶点确定，因此改变特征多边形的某个顶点，只会影响与该顶点有关的相邻四段曲线，其它地方的曲线不会引起变化。这体现了 B样条曲线的局部可修改性。 5） 曲线位于其控制顶点的凸包之内 所谓“凸包 ”， 是指由控制顶点的全部或一部分所张成的凸范围。若控制多边形为凸时，则凸包就是此控制多边形，曲线的形状也是凸的，并位于凸包内。若控制多边形有凸有凹时，则不计凹下去的顶点 ，由剩下的顶点构成凸包，尽管曲线的形状也有凸有凹，但总位于凸包内。这一性质称为 B样条曲线的凸包性，如图 2-2所示。 nts 14 图 2-2 B样条曲线的凸包性 2.3 直纹面的几何特性 2.3.1 直纹面的定义 直线 经过刚体运动 后其 Plvcker 坐标变为，用矩阵来表示就是 （ 2.13） 式中， O 为零矩阵； 为 所对应的反对称矩阵 4，下同。 从微分几何学的观点看，直纹面根据其沿每一条母线的切平面是否唯一，可分为可展曲面和非可展曲面。可展曲面是直纹面的一种重要类型，沿着它的 每一条母线只有一个切平面，比较具有代表性的如圆柱面和圆锥面。 设直纹面的准线方程及每一点处的直母线单位方向矢量分别为 )(aa 和)(ll ，且分别有连续的一阶导数 a 和 l ，可以证明直纹面为可展曲面的充要条件为： 0, lla （ 2.14） 即满足上式（ 2.14）条件的的直纹面为可展直纹面，反之为非可展直纹面。 直线在三维空间中的运动有旋转、平移和螺旋 3种特殊情形。利用 Klein映射分别讨论直线在这 3种特殊的运动形式下扫掠所得直纹面的 Klein像特点。 2.3.2 旋转 直线 在三维空间中绕过点 P的轴线 旋转角度 ，相应的 L的Plvcker坐标变换为 该变换矩阵写成指数形式为 （ 2.15） 容易证明 nts 15 （ 2.16） 式（ 2.16）中根据 L 与 A的 关系有以下三种情况： （ 1） 当 L=A 时， L 旋转 =L， T（ ） L L，属于六维空间的一维线性子空间，就是轴线的 Klein 像： （ 2） 当 时， ， L旋转后 =-L， 属于六维空间的二维线性子空间，此时正好是三维空间中的线列，其 Klein 像为 Klein二次型 上的直线； （ 3） 当 时， L旋转后 、 、 L 线性无关， 属于六维空间的三维线性子空间：且当 ，即 A 与 L共面时，直线扫描形成锥面或柱面，轴线 A 属于该子空间：当 ，即 A 与 L 异面时，直线扫描形成单叶双曲面，轴线 A不属于该子空间。 以上表明 三维空间中的直线绕定直线 A旋转所得的所有直线 T（ ） L的 Klein坐标属于六维空间中的某一线性子空间，该子空间维数可能 为一维、二维或三维。 2.3.3 平移 直线 L在三维空间中只作平移扫描时，设位移矢量为 p（ t），相应的 L的 Klein坐标变换为 其 Klein像为一点。 为常矢量时， 是六维空间的一维线性子空间。因工程实际中 与 L（ 0）线性无关， 所以 L（ t）属于六维空间的二维线性子空间，其 Klein像是直线，此时扫描形成的是平面。 否则， 是六维空间的二维线性子空间，所以 L（ t） 属于六维空间的三维线性子空间，其 Klein像共面。 2.3.4 螺旋运动 螺旋运动是指刚体绕空间轴 旋转和沿该轴的平移运动。一条异于轴nts 16 的直线 在螺旋运动下扫描所得曲面 就是螺旋直纹面。 不失一般性，如图 1所示建立坐标系，坐标原点为轴线 A与直线 L0的公垂线和轴线 A的交点（若 A与 L0相交，交点为坐标原点），以 为 z轴， 为 x 轴，则扫描所形成的直纹面母线族为 式中， P 为螺旋节距。 容易证明由直线 L旋转其 Klein坐标满足关系 ： 在时刻 t，直线 L（ t） 与轴 线的公垂线分别交直线和轴线于点 a（ t）与 b（ t） .当时， 点 a（ t）与 b（ t）重合。当 ，点 a（ t）运动轨迹为螺旋线。设 b（ t）在轴线上的坐标为 d（ t），则其沿着轴线匀速平动，必满足条件 ， 其中， （ t）为 L（ t）的旋转角。 常见的直纹面有圆锥面、圆柱面、单叶双曲面、抛物双曲面、螺旋面。它们的 Klein像特征见表 2-2。由于曲面具有几何不变性，即与坐标系的选取无关，所以刚体运动不会改变上述几种常见直纹面的 Klein像的特性（共面性质）。 nts 17 表 2-2 几种特殊直纹面的 Klein像特征 2.4 等距曲线和等距曲面 2.4.1 等距曲线 在数控机床加工零件时，由机床控制刀具中心，使零件得到一定的形状。刀具路径和被加工件的外型曲线是两条相互平行的曲线，这就是等距线的一种具体形式。等距线的定义：已知一条曲线 ，让 上每一点沿 在这点的法线的一定方向（或法矢）移动一段距离 a，得到新的点，这些新的点的轨迹 1 称为 的等距曲线。 nts 18 等距线的方程：设曲线 的矢函数为 tytxtR , （ 2.17） 可以计算它的单位法矢12nnrr和为： 1 2 2 2 2,y t x tnx t y t x t y t r （ 2.18） 21nnrr=双重符号的选取，可由图 2-3决定。 那么它的等距线方程为： 11 2 2 2 2, y t x tR t x t y t x t a y t ax t y t x t y t v （ 2.19） 当同时取“”号时，公式（ 2.18）表示等距线 1 的方程，同时取“”号时，则（ 2.18）表示2的方程 图 3-1 等距线示意图 图 2-3 等距 曲 线 示意图 2.4.2 等距曲面 类似于等距曲线的概念的引入，也可以建立等距曲面的概念。例如在加工曲面时，由球刀中心点的运动得到的轨迹形状也就是被加工曲面的平行曲面。 若已知一张曲面 ，让 上每一点沿这点法矢的一定方向移动一段距离 a，得到新的点的轨迹1就称为 的法向等距面。以下推导等距面的方程。 设曲面的矢 量方程： : , ( , ) , ( , ) , ( , )r r u v x u v y u v z u v rr （ 2.20） nts 19 故曲面在任一点0 0 0 0( , , )M x y z的单位法矢为 0 uvuvrrnrrr （ 2.21） 这样，法向等距面 0,R R u v r u v a n rr rr （ 2.22） 在实际应用中，公式（ 2.21）可以用来计算半径为 a的刀具中心轨迹。 nts 20 3 三元整体叶轮的曲面造型 3.1 叶轮的曲面造型方法研究 3.1.1 叶片的曲面构型原理及方法 在实际生产过程中，叶轮叶片曲面的轮廓形状是由实验的方法来确定的，这种以离散点来决定形状的零件曲面称为列表自由曲面 16。其特点是列表曲线上的各离散点之间没有严格的连续规律，而在加工中往往要求曲面能平滑地通过各点，并满足加工精度要求。 在处理该类自由曲面时，首先要选择一个或多个插值方程来描述它。下面针对叶片曲线构造设计中给出的离散点进行 B样条曲线插值。 3.1.2 离散点的插值 设给定曲线上的 n+1 个数据点 ( , , ) , 0 , 1 , 2 , ,i i i ip x y z i n L，其中， ,i i ix y z为ip点的直角坐标值。构造三次 B 样条插值曲线的实质就是反算三次 B样条曲线的 n+3 个控制点。 三次 B样条曲线方程 , 3 1 3 33( ) ( ) , ,is p j j i i njir p u d N u u u u u u （ 3.1） 其中， , 0 , 1 , , 2jd j nL为控制顶点； ,3 ( ) , 0 , 1 , , 2jN u j nL为 3 次规范 B样条基函数。 在此采用累加弦长参数化的方法进行参数化，令控制多边形的各边边长为1 2 , 1 , 2 , ,i i il P P i n L。总的边长为1niiLl，则 3 次 B 样条曲线的节点矢量为： 111 1 20 , 0 , 0 , 0 , , , , , 1 , 1 , 1 , 1niill l lUL L LL，将与数据点 iP 相对应的参数值31, 0 ,1, ,u i n L代入式（ 3.1），再补充两个切矢边界条 件 ： 431 0 1 0()3uud P p p （ 3.2） nts 21 3211()3nnn n n nuud P p p （ 3.3） 解该线性方程组则可求得 n+3个控制点，至此则可给出插值 n+1个数据点的曲线，如图 3-1 所示。 图 3-1 B-曲线插值 3.2 UG软件概述 Unigraphics软件为美国 UGS公司的主要产品，该软件不仅具有强大的实体造型、曲面造型、虚拟装配的产生工程图等设计功能，而且，在设计过程可进行有限元 分析、机构运动分析、动力学分析和仿真模拟，提高设计的可靠性；同时，可用建立的三维模型直接生成数控代码，用于产品的加工，其后处理程序支持多种数控机床。另外它所提供的二次开发语言 UG/Open GRIP、 UG/Open API 简单易学，实现功能多，便于用户开发专用 CAD 系统。 UG NX4.0 中，曲面建模可以分为以下几种： （ 1）由点生成曲面，这种曲面是非参数化的，即生成的曲面与原始构造点不关联，当构造点编辑后，曲面不会产生关联性更新变化，这类曲面造型的方法有 Through Points、 From Poles、 From Points Cloud； （ 2）由曲线生成曲面，这类曲面是全参数化的，当构造曲面的曲线被编辑修改后，曲面会自动更新，适用于主要、大面积的曲面构造，如 Ruled、 Through Curves、Through Curve Mesh、 Swept 等； （ 3）由片体生成曲面，这类曲面大多数是参数化的，如 Section、 Bridge Sheet、Face Blend、 Soft Blend、 Trimmed Sheet、 Offset Sheet。有些方法常用于曲面与曲面之间的过渡，如 Face Blend、 Soft Blend 等。实体建模操作中有布尔运算 Unite、nts 22 Subtract 和 Intersect，面操作 Taper、 Patch Body、 Simplify Body 等，体操作 Hollow、Thread、 Sew、 Wrap Geometry、 Scale、 Trim Body、 Split Body、 Promote Body 等，还有边缘操作、特征操作等等。 UG/Open GRIP 是 UG 软件包中的一个模块，是 UGS 公司提供的一个用于 UG 二次开发的软件工具。 UG/Open GRIP 语言用来创建类似 FORTRAN 一样的程序，与Unigraphics 系统集成。由于 GRIP 与 Unigraphics 系统紧密集成，所以，利用 GRIP程序，可以完成与 Unigraphics 的各种交互操作。例如，调用一些实体生成语句，创建几何体和制图实体，可以控制 UG 系统参数，实现文件管理功能，可以存取 UG数据库，提取几何体的数据和属性，可以编辑修改已存在的几何体参数等。 GRIP 还有一些交互命令用于控制实体状态、对话菜单的选择以及调用 UG 的通用的构造子功能等。此外， GRIP 语言与一般的通用语言一样，有完整的语法规则，程序结构，内部函数，以及与其它通用语言程序 的相互调用等。 GRIP 程序同样要经过编译、链接后，生成可执行程序，才能运行。 UG作为一个高度集成的 CAD/CAM/CAE 软件系统，具有强大的建模和加工功能，所以本文选用 UG/CAD 系统对叶轮零件进行三维建模。 3.3 基于 UG的整体 叶轮造型 图纸给定的叶轮为一直径 160mm，高 58mm 的整体半封闭式叶轮，叶轮图纸及部分点数据如附录 A中所示。 叶轮模型的整体构造过程如流程图 3-2 所示： 图 3-2 叶轮 CAD 造型流程图 离散点数据 叶片 B-曲线 叶片 B-曲面 轮毂截面曲线 叶片 轮毂 整体叶轮 布尔并运算 nts 23 3.3.1 离散点插值的 UG/OPEN GRIP 实现 由于图纸给定的数据点很多，每条用来生成曲面的 B-曲线需要由几十个离散点来生成，手工操作较为繁琐。可以运用 UG/OPEN GRIP 中的 BCUVE 函数来实现曲线的样条插值。 此函数的功能是通过一系列点生成 B-曲线或将这些点作为控制顶点生成 B-曲线17。 格式： obj list=BCURVE/obj list1,VERT,num list ,DEGREE,num,CLOSED ,IFERR,label: obj list：生成的 B-曲线； obj list1：用于生成 B-曲线的一系列点； VERT：辅词，用于确定是否将这些点作为控制顶点来生成 B-曲线，为可选项； num list：每个点所对应的权重系数； DEGREE， num： B-曲线的阶数，为可选项； CLOSED：辅词，用于确定生成的 B-曲线是否闭合，为可选项； IF
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