人教A版选修22 推理与证明03综合法与分析法 课件（31张）.ppt

高中数学人教a版选修2 2第二章 四川省成都市新都一中肖宏 no 1middleschool mylove 在必修5中 我们是如何证明基本不等式 a 0 b 0 的 指出其中的证明方法的特点 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 预学1 综合法一般地 从已知条件和某些数学定义 公理 定理等出发 经过一系列推理论证 推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫综合法 综合法是中学数学证明中最常用的方法 它是从已知到未知 从题设到结论的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发 经过一系列的推理 最后导出所要求证的命题 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 练一练 综合法是 a 执果索因的逆推法b 由因导果的顺推法c 因果分别互推的两头凑法d 证明命题的唯一方法 答案 b no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 预学2 分析法一般地 从求证的结论出发 一步一步地探索 保证前一个结论成立的充分条件 直到归结为这个命题的条件 或者归结为定义 公理 定理等 我们把这样的思维方法称为分析法 分析法的思维特点是执果索因 即从结论逐步挖掘已知 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 想一想 分析法证明问题是从所证命题的结论出发 寻求使这个结论成立的 条件 答案 充分 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 预学3 用框图表示综合法与分析法的证明过程 1 综合法可用框图表示 用p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的结论 p q1 q1 q2 q2 q3 qn q 2 若用q表示所要证明的结论 分析法可用框图表示 q p1 p1 p2 p2 p3 得到一个明显成立的条件 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 练一练 要证a2 b2 1 a2b2 0 只要证明 a 2ab 1 a2b2 0b a2 b2 1 0c 1 a2b2 0d a2 1 b2 1 0 答案 d no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 预学4 分析法与综合法的联系与区别分析法与综合法是两种思路相反的推理方法 分析法是倒溯 综合法是顺推 二者各有优缺点 分析法容易探路 且探路与表述合一 缺点是表述过程容易出错 综合法条理清晰 易于表述 但思路不太好想 因此将二者结合使用 互补优缺点形成分析综合法 其逻辑基础是充分条件与必要条件 也就是用分析法寻找解题思路 用综合法加以表述 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 议一议 分别用分析法 综合法证明 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 解析 分析法 要证 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 只需证a2c2 b2c2 a2d2 b2d2 a2c2 2abcd b2d2 即证b2c2 a2d2 2abcd 只需证 bc ad 2 0 因为 bc ad 2 0显然成立 所以 a2 b2 c2 d2 ac bd 2成立 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 综合法 因为b2c2 a2d2 2abcd 当且仅当bc ad时取等号 所以a2c2 b2c2 a2d2 b2d2 a2c2 2abcd b2d2 即 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 1 综合法例1已知a b c是互不相等的正实数 求证 3 方法指导 用综合法证明不等式 常对不等式的左端或已知条件进行恒等变形 其目的都是有效地利用有关的基本不等式 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 解析 因为a b c是互不相等的正实数 所以 3 2 2 2 3 6 3 3 故原不等式成立 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 变式训练1 已知x y z 1 求证 x2 y2 z2 解析 x2 y2 2xy y2 z2 2yz z2 x2 2zx x2 y2 y2 z2 z2 x2 2xy 2yz 2zx 3 x2 y2 z2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 即3 x2 y2 z2 x y z 2 1 x2 y2 z2 故不等式成立 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 2 分析法例2设a b为实数 求证 a b 方法指导 不等式的两边不能直接平方 要对a b 0与a b 0两种情况进行讨论 解析 当a b 0时 0 a b 成立 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 当a b 0时 用分析法证明如下 要证 a b 只需证 2 a b 2 即证a2 b2 a2 b2 2ab 即证a2 b2 2ab a2 b2 2ab对一切实数恒成立 a b 成立 综上所述 不等式得证 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 变式训练2当a 2时 求证 解析 要证 只需证 只需证 2 2 只需证a 1 a 2 2 a a 1 2 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 只需证 只需证 a 1 a 2 a a 1 即证 2 0 显然成立 所以 成立 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 3 综合法与分析法的综合应用例3已知a b c是正实数 且a b c 1 求证 方法指导 要证明结论成立 可以证明其对应的平方式成立 可以以此为入手点进行展开 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 解析 法一 分析法 要证 只需证a b c 2 2 2 3 即证2 2 2 2 也就是证 1 a b c 因为a b c是正实数 所以 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 所以2 a b c 2 所以a b c 即不等式 成立 所以 成立 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 法二 综合法 因为a b c是正实数 所以 所以2 a b c 2 所以a b c 2 3 a b c 3 所以 2 3 所以 成立 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 变式训练3设a b 0 求证 3a3 2b3 3a2b 2ab2 解析 法一 综合法 3a3 2b3 3a2b 2ab2 3a2 a b 2b2 b a 3a2 2b2 a b 因为a b 0 所以a b 0 3a2 2b2 0 所以 3a2 2b2 a b 0 所以3a3 2b3 3a2b 2ab2成立 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 法二 分析法 要证3a3 2b3 3a2b 2ab2 只需证3a2 a b 2b2 a b 0 只需证 3a2 2b2 a b 0 因为a b 0 所以a b 0 所以3a2 2b2 2a2 2b2 0 所以原不等式成立 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 分析法与综合法的关系 1 区别 综合法是 由因导果 而分析法则是 执果索因 它们是截然相反的两种证明方法 分析法便于我们去寻找思路 而综合法便于过程的叙述 两种方法各有所长 在解决具体问题时 结合起来运用效果会更好 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 分析法与综合法的关系 2 联系 在分析法中 从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件 最后的一步归结为已被证明了的事实或题目中给出的条件 因此从分析法的最后一步又可以倒推回去 直到结论 这个倒推的证明方法就是综合法 no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 若a b c是不全相等的正实数 求证 lg lg lg lga lgb lgc 解析 要证lg lg lg lga lgb lgc 只需证lg lgabc 即证 abc no 1middleschool mylove 第3课时综合法与分析法 由于 0 0 0 且a b c不全相等 所以等