人教B版 必修2 2.3.3 直线与圆的位置关系 学案.docx

2.3.3 直线与圆的位置关系学习目标：1.理解直线与圆的三种位置关系(重点)2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系(重点)3.能解决直线与圆位置关系的综合问题(易错点、难点)自 主 预 习探 新 知1直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2直线axbyc0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr判断方法代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000基础自测1思考辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切( )(2)直线x2y10与圆2x22y24x2y10的位置关系是相交( )提示 (1) (2)2直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是( )a相交 b相切c相离d无法判断b 圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1.dr，直线与圆相切选b.3若直线xym0与圆x2y22相离，则m的取值范围是_(，2)(2，) 直线与圆相离，圆心到直线的距离dr.即，m2或m2.合 作 探 究攻 重 难直线与圆的位置关系的判断 已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点. 【导学号：07742292】解 将直线mxym10代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，当0，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当0，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当0，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点规律方法 判断直线与圆的位置关系应注意的问题(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征尽可能简化运算.提醒：利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标.跟踪训练1已知直线l：x2y50与圆c：(x7)2(y1)236，判断直线l与圆c的位置关系解 法一：(代数法)由方程组消去y后整理得5x250x610.(50)245611 2800，该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆c相交法二：(几何法)圆心(7,1)到直线l的距离为d2.dr6，直线l与圆c相交.切线问题 过点a(4,3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求：(1)此切线的方程；(2)其切线长.思路探究：先确定点a在圆外，切线应有两条，再根据圆心到直线的距离dr.求切线方程；利用勾股定理求切线长解 (1)因为(43)2(31)2171，所以点a在圆外若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)设圆心为c，因为圆心c(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21.解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心c(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.(2)因为圆心c的坐标为(3,1)，设切点为b，则abc为直角三角形，|ac|，又|bc|r1，则|ab|4，切线长为4.规律方法 过一点的圆的切线方程的求法(1)点(x0，y0)在圆上. 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程. 如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.(2)点(x0，y0)在圆外. 设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就是切线方程. 当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况. 过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况.跟踪训练2圆x2y24在点p(，1)处的切线方程为( )axy20 bxy40cxy40dxy20c ()2(1)24，点p在圆上切点与圆心连线的斜率为，切线的斜率为，切线方程为y1(x)，即xy40.3点p是直线2xy100上的动点，pa，pb与圆x2y24分别相切于a，b两点，则四边形paob面积的最小值为_8 如图所示，因为s四边形paob2spoa.又oaap，所以s四边形paob2|oa|pa|22.为使四边形paob面积最小，当且仅当|op|达到最小，即为点o到直线2xy100的距离：|op|min2.故所求最小值为28.弦长问题探究问题1已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？提示 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|ab|求弦长2若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l2. 求直线l：3xy60被圆c：x2y22y40截得的弦长. 思路探究：本题可以考虑利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解 解 法一：圆c：x2y22y40可化为x2(y1)25，其圆心坐标为(0,1)，半径r.点(0,1)到直线l的距离为d，l2，所以截得的弦长为.法二：设直线l与圆c交于a、b两点由得交点a(1,3)，b(2,0)，所以弦ab的长为|ab|.母题探究：1.若本例改为“过点(2,0)的直线被圆c：x2y22y40截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解解 由例题知，圆心c(0,1)，半径r，又弦长为.所以圆心到直线的距离d.又直线过点(2,0)，知直线斜率一定存在可设直线斜率为k，则直线方程为yk(x2)，所以d，解得k3或k，所以直线方程为y3(x2)或y(x2)，即3xy60或x3y20.2本例若改为“求过点m(1,2)且被圆c：x2y22y40所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？解 由例题知圆心c(0,1)，圆的标准方程为x2(y1)25.因为12(21)25，故点m(1,2)在圆内则当cm与直线垂直时弦长最短，又kcm1，所以所求直线的斜率为1，又过点m(1,2)，所以直线方程为y2(x1)，即xy30.规律方法 求弦长常用的三种方法(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关(2)利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长.(3)利用弦长公式,设直线l：ykxb，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长当 堂 达 标固 双 基1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是( )a过圆心 b相切c相离d相交但不过圆心d 圆心坐标为(1，1)，圆心到直线3x4y120的距离为dr3.又点(1，1)不在直线3x4y120上，所以直线与圆相交且不过圆心选d.2设直线l过点p(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是( ) a1bcdc 设直线l斜率为k，则l的方程为yk(x2)，由l与圆x2y21相切，所以1.解得k. 3(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于a，b两点，则|ab|_. 2 由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1的距离d，所以|ab|22.4圆x2y24x0在点p(1，)处的切线方程为_解 圆x2y24x0的圆心坐标是(2,0)，所以切点与